GEOMETRIA ANALÍTICA: GERAL

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO

(Puccamp 2005) No gráfico abaixo têm-se:

- um triângulo ABC de vértices A(3;3), B(-5;-1) e C (-2; -7);

- o círculo inscrito no triângulo ABC;

- a região sombreada R.

1.

 

O baricentro do triângulo ABC é

a) (-2; -2)

b) (-2; -5/3)

c) (-4/3; -2)

d) (-4/3; -5/3)

e) (-5/3; -4/3)

 

2. (G1) Sendo (x+2, 2y-4) = (8x, 3y-10), determine o valor de x e de y.

 

3. (G1) Dado A x B = { (1,0); (1,1); (1,2) } determine os conjuntos A e B.

 

4. (Fuvest 95) Sejam A=(1, 2) e B=(3, 2) dois pontos do plano cartesiano. Nesse plano, o segmento AC é obtido do segmento AB por uma rotação de 60°, no sentido anti-horário, em torno do ponto A.

As coordenadas do ponto C são:

a) (2, 2+Ë3).

b) (1+Ë3, 5/2).

c) (2, 1+Ë3).

d) (2, 2-Ë3).

e) (1+Ë3, 2+Ë3).

 

5. (Ita 95) Três pontos de coordenadas, respectivamente, (0,0), (b,2b) e (5b,0), com b>0, são vértices de um retângulo. As coordenadas do quarto vértice são dadas por:

a) (- b, - b)

b) b) (2b, - b)

c) (4b, - 2b)

d) (3b, - 2b)

e) (2b, - 2b)

 

6. (Unesp 95) Dado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, considere os pontos A(2, 2), B(4, -1) e C(m, 0). Para que AC+CB seja mínimo, o valor de m deve ser:

a) 7/3.

b) 8/3.

c) 10/3.

d) 3,5.

e) 11/3.

 

7. (Unicamp 92) Dados três pontos a, b e c em uma reta, como indica a figura seguinte determine o ponto x da reta, tal que a soma das distâncias de x até a, de x até b e de x até c seja a menor possível. Explique seu raciocínio.

 

 

 

8. (Cesgranrio 95) A área do triângulo, cujo vértices são (1,2), (3,4) e (4,-1), é igual a:

a) 6.

b) 8.

c) 9.

d) 10.

e) 12.

 

9. (Fuvest 96) Considere, no plano cartesiano, os pontos P=(0,-5) e Q=(0,5). Seja X=(x,y) um ponto qualquer com x>0.

a) Quais são os coeficientes angulares das retas PX e QX?

b) Calcule, em função de x e y, a tangente do ângulo PXQ.

c) Descreva o lugar geométrico dos pontos X=(x,y) tais que x>0 e PXQ=(™/4) radianos.

 

10. (Cesgranrio 94) O ponto Q é o simétrico do ponto P(x,y) em relação ao eixo dos y. O ponto R é o simétrico do ponto Q em relação à reta y=1. As coordenadas de R são:

a) (x, 1-y)

b) (0, 1)

c) (-x, 1-y)

d) (-x, 2-y)

e) (y, -x)

 

11. (Fei 95) O ponto A', simétrico do ponto A= (1,1) em relação à reta r: 2x + 2y - 1 = 0 é:

a) (1,1)

b) (1/2, -3/2)

c) (-1/2, -1/2)

d) (-1/2, -3/2)

e) (1/2, 3/2)

 

12. (Ufmg 94) A reta de equação y = 3x + a tem um único ponto em comum com a parábola de equação y=x£+x+2. O valor de a é

a) - 2

b) - 1

c) 0

d) 1

e) 2

 

13. (Ufmg 95) Os pontos P e Q pertencem à reta de equação y=mx, têm abscissas a e a+1, respectivamente. A distância entre P e Q é Ë10. A ordenada do ponto dessa reta que tem abscissa 5 é negativa.

Nessas condições, o valor de m é

a) - 3

b) - Ë10

c) 3

d) (Ë10)/10

e) Ë10

 

14. (Unesp 90) A distância do vértice da parábola

y = (x-2) (x-6) à reta y = (4/3)x + 5 é:

a) 72/25

b) 29/25

c) 43

d) 43/25

e) 43/5

 

15. (Unesp 90) A reta r é perpendicular à reta -3x + 4y - 5 = 0 e passa pelo ponto (1, 2). Determine os pontos de r que distam 5 unidades do ponto (1, 2).

 

16. (Mackenzie 96) Um segmento de reta de comprimento 8 movimenta-se no plano mantendo suas extremidades P e Q apoiadas nos eixos 0x e 0y, respectivamente. Entre os pontos do lugar geométrico descrito pelo ponto médio de PQ, o de maior ordenada possui abscissa:

a) - 2.

b) - 1.

c) 0.

d) 1.

e) 2.

 

17. (Ufc 96) Considere o triângulo cujos vértices são os pontos A(2,0); B(0,4) e C(2Ë5, 4+Ë5). Determine o valor numérico da altura relativa ao lado AB, deste triângulo.

 

18. (Uel 95) Seja åè uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em unidades de área, é

a) 4

b) 4Ë2

c) 8

d) 8Ë2

e) 16

 

19. (Mackenzie 96) Supondo ™=3, então os pontos (x,y) do plano tais que x£+y£-16´0, com x+yµ4, definem uma região de área:

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

 

20. (Unesp 97) O tetraedro VABC da figura a seguir é regular e sua base encontra-se sobre um plano cartesiano, em relação ao qual seus vértices têm coordenadas A(-1/2, 0), B(1/2, 0) e C(0, Ë3/2).

 

 

Dando-se à face ABV uma rotação em torno da aresta AB, no sentido indicado pela figura, até fazê-la coincidir com o plano ABC da base, quais as coordenadas do ponto P que o vértice V ocupará após a rotação?

 

21. (Cesgranrio 90) A distância entre os pontos M(4,-5) e N(-1,7) do plano x0y vale:

a) 14.

b) 13.

c) 12.

d) 9.

e) 8.

 

22. (Puccamp 97) Sabe-se que os pontos A = (0; 0), B = (1; 4) e C = (3; 6) são vértices consecutivos do paralelogramo ABCD. Nessas condições, o comprimento da æî é

a) Ë2

b) Ë3

c) 2Ë2

d) Ë5

e) 5

 

23. (Fgv 97) No plano cartesiano, os vértices de um triângulo são A (5,2), B (1,3) e C (8,-4).

a) Obtenha a medida da altura do triângulo, que passa por A.

b) Calcule a área do triângulo ABC.

 

24. (Ita 97) Seja m Æ |Rø* tal que a reta x-3y-m=0 determina, na circunferência (x-1)£+(y+3)£=25, uma corda de comprimento 6. O valor de m é

a) 10 + 4Ë10

b) 2 + Ë3

c) 5 - Ë2

d) 6 + Ë10

e) 3

 

25. (Uece 97) Seja (r) a reta que passa pelos pontos P (-1, 0) e P‚ (0, 3). Considere M (n, q) um ponto de (r). Se a distância do ponto O (0, 0) ao ponto M é 3/Ë10cm, então q - n é igual a:

a) 4/5

b) 1

c) 6/5

d) 7/5

 

 

26. (Ita 98) Considere o paralelogramo ABCD onde A=(0,0), B=(-1,2) e C=(-3,-4). Os ângulos internos distintos e o vértice D deste paralelogramo são, respectivamente:

a) ™/4, 3™/4 e D = (-2,-5)

b) ™/3, 2™/3 e D = (-1,-5)

c) ™/3, 2™/3 e D = (-2,-6)

d) ™/4, 3™/4 e D = (-2,-6)

e) ™/3, 2™/3 e D = (-2,-5)

 

27. (Mackenzie 97) Na figura, a área do triângulo assinalado é 6. Então a distância entre as retas paralelas r e s é:

 

 

a) 2

b) 3/2

c) 6/5

d) 7/5

e) 8/5

 

28. (Ufmg 99) Observe a figura.

 

 

Nessa figura, ABCD é um paralelogramo, as coordenadas do ponto C são (6,10) e os lados AB e AD estão contidos, respectivamente, nas retas de equações y=(x/2)+14 e y=4x-2.

Nesse caso, as coordenadas do ponto B são

a) (7, 35/2)

b) (9, 37/2)

c) (8,18)

d) (10,19)

 

 

29. (Ufrj 99) Sejam A (1, 0) e B (5, 4Ë3) dois vértices de um triângulo equilátero ABC. O vértice C está no 2Ž quadrante.

Determine suas coordenadas.

 

30. (Ufrj 97) As coordenadas dos vértices do triângulo isósceles T são dadas por A=(-1,1), B=(9,1) e C=(4,6).

 

As coordenadas dos vértices do triângulo isósceles T‚ são dadas por D=(4,2), E=(2,8) e F=(6,8).

 

Determine a área do quadrilátero T º T‚.

 

31. (Ufrj 97) Sejam M = (1, 2), M‚ = (3, 4) e Mƒ = (1,-1) os pontos médios dos lados de um triângulo.

Determine as coordenadas dos vértices desse triângulo.

 

32. (Unirio 98) Considere um triângulo cujos vértices são A (0,0) B (3, 4) e C (6, 0) e responda às perguntas a seguir.

a) Qual a soma das medidas dos lados com a medida da altura relativa ao vértice B?

b) Qual a classificação deste triângulo quanto às medidas de seus ângulos internos?

 

33. (Ufrs 98) Em um sistema de coordenadas polares, P=(3,™/6) e Q=(12,0) são dois vértices adjacentes de um quadrado. O valor numérico da área deste quadrado é

a) 81

b) 135

c) 153

d) 153 - 36Ë2

e) 153 - 36Ë3

 

34. (Unicamp 99) Uma reta intersecciona nos pontos A (3, 4) e B(-4, 3) uma circunferência centrada na origem.

a) Qual é o raio dessa circunferência?

b) Calcule a área do quadrilátero cujos vértices são os pontos A e B e seus simétricos em relação à origem.

 

35. (Fatec 99) As retas r e s interceptam o eixo das abcissas nos pontos A e B e são concorrentes no ponto P.

Se suas equações são y=3x+1 e y=-2x+4, então a área do triângulo ABP é

a) 7/10

b) 7/3

c) 27/10

d) 49/15

e) 28/5

 

36. (Puc-rio 99) O valor de x para que os pontos (1,3), (-2,4), e (x,0) do plano sejam colineares é:

a) 8.

b) 9.

c) 11.

d) 10.

e) 5.

 

37. (Uff 99) Determine o(s) valor(es) que r deve assumir para que o ponto (r, 2) diste cinco unidades do ponto (0, -2).

 

38. (Ufsm 99) Sejam r: x + qy - 1 = 0 e s: px + 5y + 2 = 0 duas retas perpendiculares entre si. Então, é correto afirmar que

a) p/q = -5

b) p/q = 5

c) p/q = 1

d) p . q = -1

e) p . q = 5

 

39. (Fuvest 2000) Se (m + 2n, m - 4) e (2 - m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então m¾ é igual a:

a) -2

b) 0

c) Ë2

d) 1

e) 1/2

 

40. (Fuvest 2000) Considere os pontos A=(-2,0), B=(2,0), C=(0,3) e P=(0,‘), com 0<‘<3. Pelo ponto P, traçamos as três retas paralelas aos lados do triângulo ABC.

 

 

a) Determine, em função de ‘, a área da região sombreada na figura.

 

b) Para que valor de ‘ essa área é máxima?

 

41. (Ita 2000) A área de um triângulo é de 4 unidades de superfície, sendo dois de seus vértices os pontos A:(2, 1) e B:(3, -2). Sabendo que o terceiro vértice encontra-se sobre o eixo das abcissas, pode-se afirmar que suas coordenadas são

a) (-1/2, 0) ou (5, 0).

b) (-1/2, 0) ou (4, 0).

c) (-1/3, 0) ou (5, 0).

d) (-1/3, 0) ou (4, 0).

e) (-1/5, 0) ou (3, 0).

 

42. (Unirio 2000) Considere a função real definida por f(x)=1+Ë(18-2x£) e um ponto A (2,1). Sabe-se que a distância de um ponto P do gráfico de f ao ponto A é Ë10. O ponto P encontra-se no:

a) 1° quadrante.

b) 2° quadrante.

c) 3° quadrante.

d) 4° quadrante.

e) ponto de origem do sistema x0y.

 

43. (Unesp 2002) Sejam A = (2, 0) e B = (5, 0) pontos do plano e r a reta de equação y = x/2.

 

a) Represente geometricamente os pontos A e B e esboce o gráfico da reta r.

 

b) Se C = (x, x/2), com x > 0, é um ponto da reta r, tal que o triângulo ABC tem área 6, determine

o ponto C.

 

44. (Unifesp 2002) Um ponto do plano cartesiano é representado pelas coordenadas (x + 3y, - x - y) e também por (4 + y, 2x + y), em relação a um mesmo sistema de coordenadas. Nestas condições, xÒ é igual a

a) -8.

b) -6.

c) 1.

d) 8.

e) 9.

 

45. (Uerj 2002) Duas pessoas A e B decidem se encontrar em um determinado local, no período de tempo entre 0h e 1h.

Para cada par ordenado (x³, y³), pertencente à região hachurada do gráfico a seguir, x³ e y³ representam, respectivamente, o instante de chegada de A e B ao local de encontro.

 

 

Determine as coordenadas dos pontos da região hachurada, os quais indicam:

 

a) a chegada de ambas as pessoas ao local de encontro exatamente aos 40 minutos;

 

b) que a pessoa B tenha chegado ao local de encontro aos 20 minutos e esperado por A durante 10 minutos.

 

46. (Uerj 2002) No sistema de coordenadas cartesianas a seguir, está representado o triângulo ABC.

 

 

Em relação a esse triângulo,

 

a) demonstre que ele é retângulo;

 

b) calcule a sua área.

 

47. (Fatec 2002) A circunferência que passa pelos pontos O=(0,0), A=(2,0) e B=(0,3) tem raio igual a:

a) (Ë11)/4

b) (Ë11)/2

c) (Ë13)/4

d) (Ë13)/2

e) (Ë17)/4

 

48. (Fgv 2002) No plano cartesiano, o triângulo de vértices A(1,-2), B(m,4) e C(0,6) é retângulo em A. O valor de m é igual a:

a) 47

b) 48

c) 49

d) 50

e) 51

 

49. (Pucsp 2001) Sejam A, B, C, D vértices consecutivos de um quadrado tais que A=(1; 3) e B e D pertencem à reta de equação x-y-4=0. A área desse quadrado, em unidades de superfície, é igual a

a) 36Ë2

b) 36

c) 32Ë2

d) 32

e) 24Ë2

 

50. (Ufpi 2000) A medida do ângulo agudo formado pelas retas 3x+y-10=0 e -2x+y-15=0 é:

a) 15°

b) 30°

c) 45°

d) 60°

e) 75°

 

51. (Puc-rio 2000) Os pontos (0,8), (3,1) e (1,y) do plano são colineares. O valor de y é igual a:

a) 5

b) 6

c) 17/3

d) 11/2

e) 5,3

 

52. (Ufal 2000) Na figura abaixo tem-se o losango ABCD, com A(1;1) e C(4;4), e cuja diagonal åè forma ângulo de medida 60° com o lado åæ.

 

 

O perímetro desse losango é

a) 3Ë2

b) 6

c) 12Ë2

d) 24Ë2

e) 48

 

53. (Ufrs 2001) No sistema de coordenadas polares, considere os pontos O=(0,0), A=(1, 0), P=(›,  š) e Q=(1/›, š), onde 0 < š < ™/2 e  › > 0.

Se a área do triângulo OAP vale o dobro da área do triângulo OAQ, então › vale

 

a) 1/2.

b) Ë2/2.

c) Ë2.

d) 2.

e) 2Ë2.

 

54. (Ufsm 2002) Num plano, são dados 4 pontos através de coordenadas: (1,1), (2,4), (6,5) e (5,2). Ligando-se os 4 pontos pela ordem dada e fechando o polígono através da ligação de (1, 1) e (5, 2), por meio de segmentos de reta, obtém-se um

a) quadrado de perímetro 4Ë17

b) paralelogramo de perímetro 2Ë17 + 2Ë10

c) losango de perímetro 4Ë17

d) retângulo de perímetro 2Ë17 + 2Ë10

e) trapézio isósceles de perímetro [(Ë17 + Ë10).5]/2

 

55. (Unifesp 2003) A figura representa, em um sistema ortogonal de coordenadas, duas retas, r e s, simétricas em relação ao eixo Oy, uma circunferência com centro na origem do sistema, e os pontos A=(1,2), B, C, D, E e F, correspondentes às interseções das retas e do eixo Ox com a circunferência.

 

 

Nestas condições, determine

a) as coordenadas dos vértices B, C, D, E e F e a área do hexágono ABCDEF.

b) o valor do cosseno do ângulo AÔB.

 

56. (Unesp 2003) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P=(0,0), Q=(6,0) e R=(3,5), é

a) equilátero.

b) isósceles, mas não equilátero.

c) escaleno.

d) retângulo.

e) obtusângulo.

 

57. (Unesp 2003) Dados dois pontos, A e B, com coordenadas cartesianas (-2, 1) e (1, -2), respectivamente, conforme a figura,

 

 

a) calcule a distância entre A e B.

b) Sabendo-se que as coordenadas cartesianas do baricentro do triângulo ABC são (xG, yG) = (2/3, 1), calcule as coordenadas (xÝ, yÝ) do vértice C do triângulo.

 

58. (Ufscar 2003) Dados os pontos A(2,0), B(2,3) e C(1,3), vértices de um triângulo, o raio da circunferência circunscrita a esse triângulo é

a) (Ë10)/3

b) 10/3

c) (Ë2)/2

d) (Ë10)/2

e) Ë10

 

59. (Puc-rio 2004) Sejam A e B os pontos (1, 1) e (5, 7) no plano. O ponto médio do segmento AB é:

a) (3, 4)

b) (4, 6)

c) (-4, -6)

d) (1, 7)

e) (2, 3)

 

60. (Unifesp 2004) Considere, no plano complexo, conforme a figura, o triângulo de vértices z = 2, z‚ = 5 e zƒ = 6 + 2i.

 

 

A área do triângulo de vértices w = iz, w‚ = iz‚ e wƒ = 2izƒ é:

a) 8.

b) 6.

c) 4.

d) 3.

e) 2.

 

61. (Unifesp 2004) Considere os gráficos das funções definidas por

f(x) = log³(x) e g(x) = 10Ñ, conforme figura (fora de escala).

 

 

a) Dê as coordenadas de M, ponto médio do segmento AB.

b) Mostre que (fog)(x) = x e (gof)(x) = x, para todo x > 0.

 

62. (Ufg 2004) Para medir a área de uma fazenda de forma triangular, um agrimensor, utilizando um sistema de localização por satélite, encontrou como vértices desse triângulo os pontos A(2,1), B(3,5) e C(7,4) do plano cartesiano, com as medidas em km. A área dessa fazenda, em km£, é de

a) 17/2

b) 17

c) 2Ë17

d) 4Ë17

e) (Ë17)/2

 

63. (Ufc 2006) ABC é o triângulo, no plano cartesiano, com vértices A(0, 0), B(2, 1) e C(1, 5). Determine as coordenadas do ponto P do plano, tal que a soma dos quadrados das distâncias de P aos vértices de ABC seja a menor possível, e calcule o valor mínimo correspondente da soma.

 

64. (Uel 2000)

 

A distância do centro C da circunferência — à reta r é

a) (Ë2)/2

b) Ë2

c) 2Ë2

d) 3Ë2

e) 4Ë2

 

65. (Ufv 2000) Considere o retângulo da figura abaixo, onde as diagonais são OP e AB, sendo P=(a,b). Considere as afirmações:

 

 

I - O ponto médio da diagonal OP é (a/2, b/2).

II - As diagonais se cortam ao meio.

III - O coeficiente angular da diagonal AB é b/a.

IV - Se as diagonais são perpendiculares, o retângulo é um quadrado.

 

Atribuindo V para as afirmações verdadeiras e F para as falsas, assinale a seqüência CORRETA:

a) V V V V

b) V V V F

c) V V F V

d) V V F F

e) V F V V

 

66. (Uerj 2004) Observe o mapa da região Sudeste.

 

 

(Adaptado de BOCHICCHIO, V. R. Atlas atual: geografia. São Paulo: Atual, 1999.)

 

Considere o Trópico de Capricórnio como o eixo das abscissas e o meridiano de 45° como o eixo das ordenadas. Neste sistema cartesiano, as coordenadas das cidades de São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte e Vitória são, respectivamente, (-3/2,0), (2,1/2), (3/2,4) e (5,7/2), todas medidas em centímetros.

a) Calcule, em quilômetros quadrados, a área do quadrilátero cujos vértices estão representados por estas quatro cidades, supondo que a escala do mapa é de 1:10.000.000.

b) Determine as coordenadas de uma cidade que fique eqüidistante das cidades de São Paulo, Rio de Janeiro e Belo Horizonte.

 

67. (G1) Represente na reta numerada os seguintes subconjuntos de IR.

a) A = {x Æ |R / x > -3/2}

b) B = {x Æ |R / 2 < x < 5}

 

68. (G1) Dados A = { -1, 0, 1 } e B = { -2, 2 } determine os conjuntos A x B e B x A e represente geometricamente.

 

 


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GABARITO

 

1. [D]

 

2. x = 2/7

y = 6

 

3. A x B = ¹; {(1,0)}; {(1,1)}; {(1,2)}; {(1,0) ; (1,1)}; {(1,0) ; (1,2)}; {(1,1) ; (1,2)}; {(1,0) ; (1,1) ; (1,2)}

 

4. [A]

 

5. [C]

 

6. [C]

 

7. O ponto x coincide com o ponto b.

 

8. [A]

 

9. a) O coeficiente angular da reta PX é igual a (y+5)/x e o c.a. da reta QX é igual a (y-5)/x.

 

b) Consideremos tg do ângulo PXQ = œ

1) se œ = ™/2; não existe Tg œ

2) Tg œ = 10x/(x£+y£-25)

 

c) Graficamente é o arco da circunferência de centro (5, 0) e raio 5Ë2 contido no semiplano x>0.

 

10. [D]

 

11. [C]

 

12. [D]

 

13. [A]

 

14. [E]

 

15. (-2,6) e (4,-2)

 

16. [C]

 

17. 5

 

18. [A]

 

19. [B]

 

20. P (0 ; -Ë3/2)

 

21. [B]

 

22. [D]

 

23. a) (3Ë2)/2

b) 21/2

 

24. [A]

 

25. [C]

 

26. [D]

 

27. [C]

 

28. [C]

 

29. C = (-3, 4Ë3)

 

30. 4

 

31. (x, y) = (-1, -3)

(x‚, y‚) = (3, 7)

(xƒ, yƒ) = (3, 1)

 

32. a) 20

b) triângulo acutângulo

 

33. [E]

 

34. a) r = 5

b) S = 50

 

35. [D]

 

36. [D]

 

37. r = 3 ou r = -3

 

38. [A]

 

39. [E]

 

40. a) - ‘£ + 2‘ + 3

b) A área é máxima para ‘ = 1.

 

41. [C]

 

42. [A]

 

43. a) Observe o gráfico a seguir:

 

 

b) C = (8,4).

 

44. [A]

 

45. a) (2/3, 2/3)

 

b) (1/2, 1/3)

 

46. a) Observe a demonstração a seguir:

 

 

b) 8 u.a.

 

47. [D]

 

48. [C]

 

49. [B]

 

50. [C]

 

51. [C]

 

52. [C]

 

53. [C]

 

54. [B]

 

55. a) B(-1; 2), C(-Ë5; 0), D(-1; -2), E(1; -2) e F(Ë5; 0)

S = 4[(Ë5) + 1] u.a.

b) cos (AÔB) = 0,6

 

56. [B]

 

57. a) AB = 3Ë2

b) C (3; 4)

 

58. [D]

 

59. [A]

 

60. [B]

 

61. a) (11/2, 11/2)

 

           

 

62. [A]

 

63. Queremos minimizar a expressão AP£ + BP£ + CP£.

Seja P = (x, y).

Logo,

            AP£ + BP£ + CP£ = [(x - 0)£+ (y - 0)£] + [(x - 2)£ + (y - 1)£] + [(x - 1)£ + (y - 5)£] = 3x£ -  6x + 3y£ - 12y + 31.

Como x e y variam independentemente um do outro, para minimizarmos a expressão acima, basta minimizarmos os trinômios de grau 2:

            f(x) = 3x£ - 6x e g(y) = 3y£ - 12y.

Calculando-se os mínimos destes trinômios encontramos -3 e -12, respectivamente.

Portanto, o valor  mínimo de AP£ + BP£ + CP£ é - 3 - 12 + 31 = 16.

 

64. [B]

 

65. [C]

 

66. a) 122.500 km£

b) (0; 2)

 

67. Observe a figura a seguir.

 

 

 

68. Observe a figura a seguir.