PROGRASSÃO GEOMÉTRICA

 

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO

(Puccamp 2000) A MÁQUINA A VAPOR: UM NOVO MUNDO, UMA NOVA CIÊNCIA.

 

1          As primeiras utilizações do carvão mineral verificaram-se esporadicamente até o século Xl; ainda que não fosse sistemática, sua exploração ao longo dos séculos levou ao esgotamento das jazidas superficiais (e também a fenômenos de poluição atmosférica, lamentados já no século XIII). A necessidade de se explorarem jazidas mais ¢profundas levou logo, já no século XVII, a uma dificuldade: £a de ter que se esgotar a água das galerias profundas. O esgotamento era feito ou à força do braço humano ou mediante uma roda, movida ou por animais ou por queda-d'água. Nem sempre se dispunha de uma queda-d'água próxima ao poço da mina, e o uso de cavalos para este trabalho era muito dispendioso, ou melhor, ia contra um princípio que não estava ainda formulado de modo explícito, mas que era coerentemente adotado na maior parte das decisões produtivas: o princípio de se empregar energia não-alimentar para obter energia alimentar, evitando fazer o contrário. O cavalo é uma fonte de energia melhor do que o boi, dado que sua força é muito maior, mas são maiores também suas exigências alimentares: não se contenta com a celulose - resíduo da alimentação humana -, mas necessita de aveia e trevos, ou seja, cereais e leguminosas; compete, pois, com o homem, se se considera que a área cultivada para alimentar o cavalo é subtraída da cultivada para a alimentação humana; pode-se dizer, portanto, que utilizar o cavalo para extrair carvão é um modo de utilizar energia alimentar para obter energia não-alimentar. Daí a não-economicidade de sua utilização, de modo que muitas jazidas de carvão que não dispunham de uma queda d'água nas proximidades só puderam ser exploradas na superfície. Ainda hoje existe um certo perigo de se utilizar energia alimentar para se obter energia não-alimentar: num mundo que conta com um bilhão de desnutridos, há quem pense em colocar álcool em motores de automóveis. Esta será uma solução "econômica" somente se os miseráveis continuarem miseráveis.

2          Até a invenção da máquina a vapor, no fim do século XVII, o carvão vinha sendo utilizado para fornecer o calor necessário ao aquecimento de habitações e a determinados processos, como o trato do malte para preparação da cerveja, a forja e a fundição de metais. Já o trabalho mecânico, isto é, o deslocamento de massas, era obtido diretamente de um outro trabalho mecânico: do movimento de uma roda d'água ou das pás de um moinho a vento.

3          A altura a que se pode elevar uma massa depende, num moinho a água, de duas grandezas: o volume d'água e a altura de queda. Uma queda d'água de cinco metros de altura produz o mesmo efeito quer se verifique entre 100 e 95 metros de altitude, quer se verifique entre 20 e 15 metros. As primeiras considerações sobre máquinas térmicas partiram da hipótese de que ocorresse com elas um fenômeno análogo, ou seja, que o trabalho mecânico obtido de uma máquina a vapor dependesse exclusivamente da diferença de temperatura entre o "corpo quente" (a caldeira) e o "corpo frio" (o condensador). Somente mais tarde o estudo da termodinâmica demonstrou que tal analogia com a mecânica não se verifica: nas máquinas térmicas, importa não só a diferença temperatura, mas também o seu nível; um salto térmico entre 50°C e 0°C possibilita obter um trabalho maior do que o que se pode obter com um salto térmico entre 100°C e 50°C. Esta observação foi talvez o primeiro indício de que aqui se achava um mundo novo, que não se podia explorar com os instrumentos conceituais tradicionais.

4          O mundo que então se abria à ciência era marcado pela novidade prenhe de conseqüências teóricas: as máquinas térmicas, dado que obtinham movimento a partir do calor, exigiam que se considerasse um fator de conversão entre energia térmica e trabalho mecânico. Aí, ao estudar a relação entre essas duas grandezas, a ciência defrontou-se não só com um princípio de conservação, que se esperava determinar, mas também com um princípio oposto. De fato, a energia é "qualquer coisa" que torna possível produzir trabalho - e que pode ser fornecida pelo calor, numa máquina térmica, ou pela queda d'água, numa roda/turbina hidráulica, ou pelo trigo ou pela forragem, se são o homem e o cavalo a trabalhar - a energia se conserva, tanto quanto se conserva a matéria. Mas, a cada vez que a energia se transforma, embora não se altere sua quantidade, reduz-se sua capacidade de produzir trabalho útil. A descoberta foi traumática: descortinava um universo privado de circularidade e de simetria, destinado à degradação e à morte.

5          Aplicada à tecnologia da mineração, a máquina térmica provocou um efeito de feedback positivo: o consumo de carvão aumentava a disponibilidade de carvão. Que estranho contraste! Enquanto o segundo princípio da termodinâmica colocava os cientistas frente à irreversibilidade, à morte, à degradação, ao limite intransponível, no mesmo período histórico e graças à mesma máquina, a humanidade se achava em presença de um "milagre". Vejamos como se opera este "milagre": pode-se dizer que a invenção da máquina a vapor nasceu da necessidade de exploração das jazidas profundas de carvão mineral; o acesso às grandes quantidades de carvão mineral permitiu, juntamente com um paralelo avanço tecnológico da siderurgia - este baseado na utilização do coque (de carvão mineral) - que se construíssem máquinas cada vez mais adaptáveis a altas pressões de vapor. Era mais carvão para produzir metais, eram mais metais para explorar carvão. Este imponente processo de desenvolvimento parecia trazer em si uma fatalidade definitiva, como se, uma vez posta a caminho, a tecnologia gerasse por si mesma tecnologias mais sofisticadas e as máquinas gerassem por si mesmas máquinas mais potentes. Uma embriaguez, um sonho louco, do qual só há dez anos começamos a despertar.

6          "Mais carvão se consome, mais há à disposição". Sob esta aparência inebriante ocultava-se o processo de decréscimo da produtividade energética do carvão: a extração de uma tonelada de carvão no século XIX requeria, em média, mais energia do que havia requerido uma tonelada de carvão extraída no século XVIII, e esta requerera mais energia do que uma tonelada de carvão extraída no século XVII. Era como se a energia que se podia obter da queima de uma tonelada de carvão fosse continuamente diminuindo.

7          Começava a revelar-se uma nova lei histórica, a lei da produtividade decrescente dos recursos não-renováveis; mas os homens ainda não estavam aptos a reconhecê-la.

            (Laura Conti. "Questo pianeta", Cap.10. Roma: Editori Riuniti, 1983. Traduzido e adaptado por Ayde e Veiga Lopes)

 

1.         O texto descreve o crescimento na produção de carvão, o qual foi cada vez mais acelerado, durante certo período. Isto é, o acréscimo na produção a cada década, não era constante e sim maior que o acréscimo havido na década anterior. Muitos fenômenos desse tipo podem ser descritos matematicamente por funções exponenciais.

 

Funções exponenciais e progressões geométricas podem ser relacionadas de maneira natural. Por exemplo, para todo n inteiro e positivo, a função f(x)=5.Ë(3Ñ) relaciona-se com a progressão geométrica (aŠ), de termo geral aŠ=f(n), na qual

a) a razão é 3

b) a razão é Ë3

c) a„ = 30

d) a… = 60

e) os termos decrescem

 

2. (Udesc 96) Se o primeiro termo vale 2 e a razão é 3, então os termos gerais da Progressão Aritmética e da Progressão Geométrica correspondentes são:

a) 2 + 3n  e  2.3¾/3

b) 2 + 3n  e  3¾­¢/2

c) 3n - 1   e  2.3¾

d) 3 + 2n  e  3.2¾

e) 3n - 1  e  (2/3).3¾

 

3. (Ufsc 2000) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

 

01. A razão da P.A. em que a=-8 e a‚³=30 é r=2.

02. A soma dos termos da P.A. (5, 8, ..., 41) é 299.

04. O primeiro termo da P.G. em que aƒ=3 e a‡=3/16 é 12.

08. A soma dos termos da P.G. (5, 5/2, 5/4, ...) é 10.

 

4. (Uepg 2001) Assinale o que for correto.

 

01) As raízes da função f(x) = x£-3x-4 são os dois primeiros termos de uma P.A. decrescente.  Então, o terceiro termo dessa P.A. vale 15

02) A sucessão (s , 2s , 3s, ...) com s · 0, é uma P.G. crescente.

04) A razão da P.G. (eÑ, e£Ñ, e¤Ñ, ...) é eÑ

08) Numa P.A. de número ímpar de termos, o primeiro termo é 3 e o último termo é 27.  Assim, o termo médio dessa P.A. vale 15

16) A razão da P.A. (log4, log12, log36, ...) é log3

 

5. (Fgv 99) Calcule as seguintes somas

 

 

 

6. (Ufsc 2003) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

 

(01) Se os raios de uma seqüência de círculos formam uma P.G. de razão q, então suas áreas também formam uma P.G. de razão q.

 

(02) Uma empresa, que teve no mês de novembro de 2002 uma receita de 300 mil reais e uma despesa de 350 mil reais, tem perspectiva de aumentar mensalmente sua receita segundo uma P.G. de razão 6/5 e prevê que a despesa mensal crescerá segundo uma P.A. de razão igual a 55mil. Neste caso, o primeiro mês em que a receita será maior do que a despesa é fevereiro de 2003.

 

(04) Suponha que um jovem ao completar 16 anos pesava 60kg e ao completar 17 anos pesava 64kg. Se o aumento anual de sua massa, a partir dos 16 anos, se der segundo uma progressão geométrica de razão 1/2, então ele nunca atingirá 68kg.

 

(08) Uma P.A. e uma P.G., ambas crescentes, têm o primeiro e o terceiro termos respectivamente iguais. Sabendo que o segundo termo da P.A. é 5 e o segundo termo da P.G. é 4, a soma dos 10 primeiros termos da P.A. é 155.

 

Soma (     )

 

7. (Ufg 2003) Uma faculdade oferece, em seu vestibular, 80 vagas para o curso de Direito e 110 vagas para o curso de Economia. Nos últimos três anos, o número de candidatos inscritos para o curso de Economia - 1.980 em 1999; 2.035 em 2000; 2.090 em 2001 - cresceu segundo uma progressão aritmética e o número de inscritos para o curso de Direito - 960 em 1999; 1.200 em 2000; 1.500 em 2001 - cresceu segundo uma progressão geométrica. Com base nessas informações, julgue os itens abaixo:

(     ) Em 2001, o curso de Direito teve 18,75 candidatos inscritos por vaga.

(     ) Mantendo-se a mesma tendência de crescimento para o número de candidatos inscritos nos dois cursos, em 2002, o número de candidatos por vaga será maior para o curso de Direito do que para o curso de Economia.

(     ) Se a faculdade aumentasse o número de vagas no curso de Direito para 110, o número de candidatos por vaga nos anos de 1999, 2000 e 2001 formaria uma progressão geométrica de razão 1,25.

(     ) Considerando o número de inscritos nos anos de 1999, 2000 e 2001 para o curso de Direito, para que o número de candidatos por vaga permanecesse constante, o número de vagas oferecidas deveria ter crescido segundo uma progressão geométrica.

 

8. (Mackenzie 2003) Se a seqüência (2, 1/2, 4, 1/4, 6, 1/8, ....) é formada por termos de uma progressão aritmética alternados com os termos de uma progressão geométrica, então o produto do vigésimo pelo trigésimo primeiro termo dessa seqüência é:

 

 

 

9. (Ufsm 2003) Sejam f(x) = 5x + 2 e g(x) = (1/2)Ñ.

Se m = [ f(1) + f(2) + ... + f(100) ] / [ g(1) + g(2) + ... + g(100) ], então

a) m < 19.000

b) 19.000 ´ m < 21.000

c) 21.000 ´ m < 23.000

d) 23.000 ´ m < 25.000

e) m µ 25.000

 

10. (Ufsm 2003) Sejam (a³, a, a‚,...) uma progressão aritmética (P.A.) e (b³, b, b‚,...) uma progressão geométrica (P.G.) decrescente. Se a³ = b³, a‚ = 2b‚ e a„ = 4b„, então a razão da P.G. vale

a) -(Ë2)/2

b) -Ë2

c) 1

d) (Ë2)/2

e) Ë2

 

11. (Ufsc 2004) Sejam (aŠ) uma progressão geométrica e (bŠ) uma progressão aritmética cuja razão é 3/10 da razão da progressão  geométrica (aŠ).

Sabendo que a = b = 2 e que a‚ = b‡ calcule a soma b + b‚ + .... + b‡.

 

12. (Ufrrj 2004) Em uma PA não constante de 7 termos, com termo médio igual a 6, os termos 2Ž, 4Ž e 7Ž , nesta ordem, formam uma PG. Determine esta PA.

 

13. (Fuvest 2005) Sejam a e b números reais tais que:

(i) a, b  e  a + b formam, nessa ordem, uma PA;

(ii) 2ò, 16 e 2ö formam, nessa ordem, uma PG.

Então o valor de a é:

a) 2/3

b) 4/3

c) 5/3

d) 7/3

e) 8/3

 

14. (Ufsc 2005) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

 

(01) O vigésimo termo da progressão aritmética (x, x +10, x£, ...) com  x < 0 é 186.

(02) A soma dos n primeiros números naturais ímpares é n£ + 1.

(04) O termo 1/1024 encontra-se na décima segunda posição na progressão geométrica (2, 1, 1/2, ...).

(08) Sabendo que a sucessão (x, y, 10) é uma PA crescente e a sucessão (x, y, 18) é uma PG crescente, então xy = 12.

(16) O valor de x na igualdade x + (x/3) + (x/9) + ... = 12 , na qual o primeiro membro é a soma dos termos de uma PG infinita, é 10.

 

15. (Mackenzie 2003) Se a figura mostra o esboço do gráfico de f(x)= ax£ + 2bx + c, então os números a, b e c sempre são:

 

 

 

a) nessa ordem, termos de uma progressão aritmética.

b) nessa ordem, termos de uma progressão geométrica.

c) números inteiros.

d) tais que a < b < c.

e) tais que a > b > c.

 

16. (Uff 2004) A população de marlim-azul foi reduzida a 20% da existente há cinqüenta anos (em 1953).

Adaptado da Revista Veja, 09 de julho de 2003.

 

 

 

Newsweek, 26 de maio de 2003.

 

Considerando que foi constante a razão anual (razão entre a população de um ano e a do ano anterior) com que essa população decresceu durante esse período, conclui-se que a população de marlim-azul, ao final dos primeiros vinte e cinco anos (em 1978), ficou reduzida a aproximadamente:

a) 10% da população existente em 1953

b) 20% da população existente em 1953

c) 30% da população existente em 1953

d) 45% da população existente em 1953

e) 65% da população existente em 1953

 

17. (Fuvest 94) Na figura a seguir, AB=3, BA‚=2.

 

 

Calcule a soma dos infinitos segmentos:

AB+BA‚+A‚B‚+B‚Aƒ+...

 

18. (Unicamp 94) Seja ‘·-1 um número complexo tal que ‘¾=1, onde n é um número inteiro positivo. Prove que, se n for par, a expressão 1-‘+‘£-‘¤+...+(-‘)¾ é igual a 1; e, se n for ímpar, essa expressão é igual a (1-‘)/(1+‘).

 

19. (Ita 95) Se a soma dos termos da progressão geométrica dada por 0,3: 0,03: 0,003:... é igual ao termo médio de uma progressão aritmética de três termos, então a soma dos termos da progressão aritmética vale:

a) 1/3

b) 2/3

c) 1

d) 2

e) 1/2

 

20. (Pucsp 95) Sabe-se que a seqüência (1/3, a, 27), na qual a>0, é uma progressão geométrica e a seqüência (x, y, z), na qual x+y+z=15, é uma progressão aritmética. Se as duas progressões têm razões iguais, então:

a) x = - 4.

b) y = 6.

c) z = 12.

d) x = 2y.

e) y = 3x.

 

21. (Unesp 95) A seqüência de números reais a, b, c, d forma, nessa ordem, uma progressão aritmética cuja soma dos termos é 110; a seqüência de números reais a, b, e, f forma, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão 2. A soma d+f é igual a:

a) 96.

b) 102.

c) 120.

d) 132.

e) 142.

 

22. (Unesp 94) Sejam a, b e c três números reais estritamente positivos e tais que a<b+c. Se a, b, c formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão q, prove que:

a) q£ + q - 1 > 0;

b) q > ( - 1 + Ë5)/2.

 

23. (Unitau 95) Em um freezer de hospital existem 50 frascos de sangue tipo A e 81 frascos tipo B. Dele são retirados 2 frascos, um após o outro, sem reposição. O primeiro frasco retirado foi tipo B. A probabilidade de que o segundo frasco seja A é:

a) 5/130.

b) 5/13.

c) 81/131.

d) 50/131.

e) 1/10.

 

24. (Unitau 95) A soma dos termos da seqüência (1/2;1/3;2/9;4/27;...) é:

a) 15 × 10­¢.

b) -3 × 10­¢.

c) 15 × 10­£.

d) 5 × 10­¢.

e) 3/5.

 

25. (Unitau 95) O valor da soma:

S=4+(1/10)+[36/10¤+36/10¦+36/10¨+36/10ª+...]

é igual a:

a) 99/22.

b) 91/22.

c) 91/21.

d) 90/21.

e) 81/23.

 

26. (Fuvest 90) Um país contraiu em 1829 um empréstimo de 1 milhão de dólares, para pagar em cem anos, à taxa de juros de 9% ao ano. Por problemas de balança comercial, nada foi pago até hoje, e a dívida foi sendo "rolada", com capitalização anual dos juros. Qual dos valores a seguir está mais próximo do valor da dívida em 1989?

Para os cálculos adote (1,09)©¸2.

a) 14 milhões de dólares.

b) 500 milhões de dólares.

c) 1 bilhão de dólares.

d) 80 bilhões de dólares.

e) 1 trilhão de dólares.

 

27. (Unicamp 91) Existem 4 números inteiros positivos e consecutivos tais que o produto de 2 deles seja igual ao produto dos outros dois?

Justifique.

 

28. (Unicamp 91) Começando com um cilindro de raio 1 e altura também 1, define-se o procedimento de colocar sobre um cilindro anterior um outro cilindro de igual altura e raio 2/3 do raio anterior.

Embora a altura do sólido fictício resultante seja infinita, seu volume pode ser calculado. Faça esse cálculo.

 

29. (Unicamp 91) Considere que certo país troca de moeda cada vez que a inflação acumulada atinge a cifra de 900%. A nova moeda vale sempre 1000 vezes a antiga. Com uma inflação de 25% ao mês, em quantos meses esse país trocará de moeda?

Use log³ 2 = 0,301.

 

30. (Fuvest-gv 91) Dado um quadrado Q cujo lado tem comprimento Ø=1, considere a seqüência infinita de quadrados {Q,Q‚,Qƒ,...} onde cada quadrado é obtido unindo-se os pontos médios dos lados do quadrado anterior. A soma das áreas de todos os quadrados da seqüência é:

a) 4

b) (4Ë2)/(Ë2-1)

c) 4/3

d) 2

e) Ë2/(Ë2-1)

 

31. (Unesp 92) Um ângulo de 69°20' é dividido em dois ao meio. A seguir, um dos ângulos obtidos também é dividido em dois ao meio. E assim por diante. Se este processo é interrompido quando se obtém um ângulo 1°5', determinar o número de divisões efetuadas.

 

32. (Fuvest 93) Uma progressão geométrica tem primeiro termo igual a 1 e razão igual a Ë2. Se o produto dos termos dessa progressão é 2¤ª, então o número de termos é igual a:

a) 12

b) 13

c) 14

d) 15

e) 16

 

33. (Unesp 93) Os comprimentos das circunferências de uma seqüência de círculos concêntricos formam uma progressão aritmética de razão 2. Os raios desses círculos formam uma:

a) progressão geométrica de razão 1/2.

b) progressão geométrica de razão 1/™.

c) progressão aritmética de razão 2.

d) progressão aritmética de razão ™.

e) progressão aritmética de razão 1/™.

 

34. (Ufpr 95) Considere as progressões geométricas nas quais aŠ indica o n-ésimo termo, sendo aƒ=8 e a…=32. É correto afirmar que:

 

01) A razão de cada uma dessas progressões é 4.

02) Todos os termos dessas progressões são necessariamente positivos.

04) O primeiro termo de cada uma dessas progressões é 1.

08) Se i > 0 é a razão de uma das progressões geométricas, os números log‹ a, log‹ aƒ, log‹ a… formam, nesta ordem, uma progressão aritmética.

 

35. (Cesgranrio 94) A população de certa cidade é, hoje, igual a P³ e cresce 2% ao ano. A população dessa cidade daqui a n anos será:

a) P³(1 + n/50)

b) P³(1 + (n - 1)/50)

c) P³ + (n - 1)/50

d) P³ . 1,02¾­¢

e) P³ . 1,02¾

 

36. (Ufes 96) A figura a seguir representa o gráfico da função y=2Ñ, x ´ 0, e os primeiros elementos de uma seqüência infinita de retângulos.

A soma das áreas de todos os retângulos dessa seqüência infinita é:

 

 

Dado: (ua=unidade de área)

a) 1/2 ua

b) 1 ua

c) 3/2 ua

d) 2 ua

e) maior que 2 ua

 

37. (Fatec 96) Num certo jogo de azar, apostando-se uma quantia X, tem-se uma das duas possibilidades seguintes:

 

1 ) perde-se a quantia X apostada;

2 ) recebe-se a quantia 2X.

 

Uma pessoa jogou 21 vezes da seguinte maneira: na primeira vez, apostou 1 centavo; na segunda vez, apostou 2 centavos, na terceira vez, apostou 4 centavos e assim por diante, apostando em cada vez o dobro do que havia apostado na vez anterior. Nas 20 primeiras vezes, ela perdeu. Na 21 vez, ela ganhou. Comparando-se a quantia total T por ela desembolsada e a quantia Q recebida na 21 jogada, tem-se que Q é igual a

a) T/2

b) T

c) 2T

d) T-1

e) T+1

 

38. (Fei 94) Dada a progressão geométrica 1, 3, 9, 27, ..... se a sua soma é 3280, então ela apresenta:

a) 9 termos

b) 8 termos

c) 7 termos

d) 6 termos

e) 5 termos

 

39. (Ita 96) Seja f:R*øë R uma função injetora tal que f(1)=0 e f(x.y)=f(x) + f(y) para todo x>0 e y>0. Se x, x‚, xƒ, x„ e x… formam nessa ordem uma progressão geométrica, onde x‹>0 para i=1,2,3,4,5 e sabendo que #f(x‹)=13f(2)+2f(x) onde n=5 e #f[x‹/(x‹ø)]=-2f(2x) onde n=4, então, o valor de x é:

a) -2

b) 2

c) 3

d) 4

e) 1

 

40. (Ita 96) Sejam a, a‚, aƒ, a„ quatro números reais (com a·0), formando nessa ordem uma progressão geométrica. Então, o sistema em x e y

 

ýax + aƒy = 1

þ

ÿaa‚x + aa„y = a‚

 

é um sistema

a) impossível.

b) possível determinado.

c) possível indeterminado.

d) possível determinado apenas para a > 1.

e) possível determinado apenas para a < -1.

 

41. (Ufpe 96) Em certa cidade a população de ratos é 20 vezes a população humana. Supondo que ambas as populações crescem em progressão geométrica, onde a população humana dobra a cada 20 anos e a de ratos a cada ano, quantos ratos haverá por habitante dentro de 20 anos?

a) 10 . 2£¡

b) 10 . 2¢ª

c) 20 . 2£¡

d) 40 . 2£¡

e) 20 . 2¢©

 

42. (Ufpe 96) A espessura de uma folha de estanho é 1mm. Forma-se uma pilha de folhas colocando-se na primeira vez uma folha e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já foram colocadas anteriormente. Após dez dessas operações, determine o valor da altura da pilha, em milímetros. Divida o resultado por 2¦.

 

43. (Ufpe 96) Na figura a seguir temos um ângulo š = 60° e uma linha poligonal infinita construída da seguinte maneira: ؁ é perpendicular a AC, ؂ é perpendicular a AB, ؃ é perpendicular a AC e, assim por diante. Calcule o comprimento, em cm, desta poligonal, sabendo-se que ؁=27cm.

 

 

 

44. (Uel 96) Numa aplicação financeira, chama-se MONTANTE em certa data à soma da quantia aplicada com os juros acumulados até aquela data. Suponha uma aplicação de R$50.000,00 a juros compostos, à taxa de 3% ao mês. Nesse caso, os montantes em reais, no início de cada período de um mês, formam um progressão geométrica em que o primeiro termo é 50000 e a razão é 1,03.

Os juros acumulados ao completar 10 meses de aplicação são

Dado: 1,03¢¡ = 1,3439

a) R$ 10 300,00

b) R$ 15 000,00

c) R$ 17 195,00

d) R$ 21 847,00

e) R$ 134 390,00

 

45. (Unesp 90) O limite da soma dos termos de uma progressão geométrica decrescente ilimitada cujo primeiro termo é q e cuja razão é q, vale 7 vezes o limite da soma dos cubos dos termos dessa mesma progressão geométrica. Calcule os valores possíveis de q.

 

46. (Ufpe 95) A cada mês que passa, o preço de uma cesta básica de alimentos diminui 3% em relação ao seu preço do mês anterior. Admitindo que o preço da cesta básica no primeiro mês é R$97,00, o seu preço no 12Ž mês será, em reais:

a) 97 × (0,03)¢£

b) 100 × (0,97)¢£

c) 100 × (0,97)¢¤

d) 97 × (0,03)¢¢

e) 97 × (0,97)¢£

 

47. (Pucsp 96) Se  logƒ a, logƒ b e logƒ 5 formam uma progressão aritmética de razão 1/2, então, conclui-se que a seqüência (a, b, 5)

a) é uma progressão aritmética de razão 1/4

b) tem a = 5/3

c) é uma progressão geométrica de razão 1/2

d) é uma progressão geométrica de razão 1/3

e) tem a = 4

 

48. (Fgv 96) Um terreno vale hoje A reais e esse valor fica 20% maior a cada ano que passa (em relação ao valor de um ano atrás).

a) Qual o seu valor daqui a n anos? Qual a valorização sofrida ao longo do enésimo ano expressa em reais?

b) Daqui a quantos anos aproximadamente o valor do terreno triplica?

Nota: Não é obrigatório efetuar os cálculos, basta deixá-los indicados

 

49. (Uece 96) Seja (t, t‚, tƒ, t„, t…) uma progressão geométrica de termos positivos. Se t.t‚.tƒ.t„.t…=6¢¡, então (tƒ+4)/(tƒ-4) é igual a:

a) 5/4

b) 3/2

c) 7/4

d) 2

 

 

50. (Mackenzie 96) A seqüência de números reais (log a, log b, log c) é uma progressão aritmética. Então é sempre verdadeiro que:

a) (a, b, c) é uma progressão aritmética.

b) a > b > c.

c) (a, b, c) não é uma progressão aritmética nem geométrica.

d) (a, b, c) é uma progressão geométrica.

e) a = b = c.

 

51. (Ufba 96) Numa progressão geométrica, o primeiro termo é igual a 7500, e o quarto termo é igual a 20% do terceiro. Determine o quinto termo da progressão.

 

52. (Udesc 96) Numa Progressão Aritmética de termos diferentes e positivos, o 1Ž termo, o 5Ž termo e o 21Ž termo formam, nesta ordem, uma Progressão Geométrica. Encontre a razão desta PG, JUSTIFICANDO seus cálculos intermediários.

 

53. (Uel 95) Seja TŠ o termo geral de uma seqüência de triângulos eqüiláteros, com n Æ |N*. O primeiro termo T tem lado de medida x. Cada termo tem como medida dos lados a metade da medida dos lados do termo anterior. Dessa forma, a medida da altura do triângulo Tƒ é

a) x/4

b) Ë3.x

c) Ë3.x/2

d) Ë3.x/4

e) Ë3.x/8

 

54. (Uel 95) A seqüência (2x + 5, x +1, x/2, ...), com x Æ IR, é uma progressão geométrica de termos positivos. O décimo terceiro termo dessa seqüência é

a) 2

b) 3­¢¡

c) 3

d) 3¢¡

e) 3¢£

 

55. (Pucsp 97) O terceiro e o sétimo termos de uma Progressão Geométrica valem, respetivamente, 10 e 18. O quinto termo dessa Progressão é

a) 14

b) Ë30

c) 2.Ë7

d) 6.Ë5

e) 30

 

56. (Mackenzie 96) As raízes da equação x¤ + ‘x£ + ’x + – = 0 estão em progressão geométrica, onde ‘, ’ e – são números reais não nulos. Então é sempre correta a igualdade:

a) (’/‘)¤ = –

b) (’/‘)£ = –

c) ’¤/‘ = –¤

d) (’.‘)¤ = –¤

e) (‘.’.–)¤ = 1

 

57. (Mackenzie 96) Entre 5 e 5.000, temos k números da forma 2¾, onde n é um número natural. Então k vale:

a) 8

b) 10

c) 12

d) 14

e) 16

 

58. (Mackenzie 96) Na seqüência (8/15, 34/225, ..... , 3­¾ + 5­¾, .........), onde n é um número natural não nulo, a soma de todos os termos tende a:

a) 4/3

b) 9/8

c) 9/16

d) 3/4

e) 5/8

 

59. (Mackenzie 96) Sabe-se que (a, a‚, aƒ, ...., a‹, ....) é uma progressão geométrica crescente e que (0, b, b‚, bƒ, ...., b‹, ....) é uma progressão aritmética. Se a‹+b‹ é, qualquer que seja i, um termo da seqüência (1, 1, 2, ....), então o sétimo termo desta seqüência é:

a) 43

b) 48

c) 52

d) 58

e) 64

 

60. (Mackenzie 96) Numa progressão geométrica de termos positivos, cada termo é igual à soma dos dois termos seguintes. Então a razão da progressão vale:

a) Ë5

b) -1 + Ë5

c) (1 + Ë5)/2

d) Ë5/2

e) (Ë5 - 1)/2

 

61. (Mackenzie 96) A soma dos 2n primeiros termos da seqüência (2,3,6,7,10,11,14,15,.....) é 410. Então n vale:

a) 7

b) 8

c) 9

d) 10

e) 11

 

62. (Fei 96) Em relação à seqüência:

 

log (1), log (5), log (25), ... log (5 ¾­¢)

 

é correto afirmar:

a) todos os seus termos são maiores que zero

b) é uma progressão geométrica crescente

c) é uma progressão geométrica decrescente

d) é uma progressão aritimética crescente

e) é uma progressão aritimética decrescente

 

63. (Fatec 97) Se, em uma progressão geométrica, x é o primeiro termo, y é o termo de ordem 2n+1, e z é o termo de ordem 3n+1, então é verdade que

a) z¤ = yx£

b) x¤ = yz£

c) x¤ = zy£

d) y¤ = xz£

e) y¤ = zx£

 

64. (Cesgranrio 92) Uma bomba de vácuo consegue, em cada sucção, retirar 2% do gás existente em um recipiente. Quantas sucções serão necessárias para retirar cerca de 99% do gás existente no recipiente?

(use log³ 2 = 0,30103  e  log³ 7 = 0,84510)

a) 7

b) 49

c) 121

d) 183

e) 228

 

65. (Unesp 97) Considere as seqüências (aŠ) e (bŠ) definidas por

 

aŠø = 2¾ e bŠø = 3¾, n µ 0.

 

Então, o valor de a.b† é

 

a) 2¢¢ . 3§.

b) (12)¦.

c) 5¢¦.

d) 6¢¦.

e) 6¤¡.

 

66. (Unesp 97) Suponhamos que uma represa de área igual a 128km£ tenha sido infestada por uma vegetação aquática. Suponhamos também que, por ocasião de um estudo sobre o problema, a área tomada pela vegetação fosse de 8km£ e que esse estudo tivesse concluído que a taxa de aumento da área cumulativamente infestada era de 50% ao ano. Nessas condições:

a) qual seria a área infestada n anos depois do estudo, caso não se tomasse nenhuma providência?

b) Com as mesmas hipóteses, em quantos anos a vegetação tomaria conta de toda a represa? (Use os valores aproximados log³2 = 0,3 e log³3 = 0,48.)

 

67. (Unesp 97) Em uma semi-reta de origem A marcam-se os pontos A‚, Aƒ, ... de maneira que os segmentos AA‚, A‚Aƒ, ... sejam consecutivos e suas medidas formem, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão 1/2, em que AA‚ = 1dm. Considere a seqüência de quadrados que têm como diagonais os segmentos AA‚, A‚Aƒ, ..., conforme a figura a seguir, desenhada sem escala.

 

 

a) Demonstre que as áreas desses quadrados formam uma progressão geométrica de razão 1/4.

b) Determine a medida do lado do primeiro quadrado dessa seqüência cuja área é menor que 1/100 dm£.

 

68. (Mackenzie 97) Supondo (k/2)+(k/3)+(k/4)+(k/9)+(k/8)+(k/27)+(k/16)+...=9 então:

a) sen (k™) = 1

b) cos (k™) = 1

c) sen (k™/2) = 1

d) cos (k™/2) = 1

e) sen (k™) > cos (k™)

 

69. (Mackenzie 97) Se (x, y, z) é uma seqüência geométrica de termos positivos e razão 2­Ñ, tal que 4x + z < 5y, então:

a) -4 < x < -2

b) -2 < x < 0

c) 0 < x < 2

d) 2 < x < 4

e) -1 < x < 1

 

70. (Cesgranrio 91) Um artigo custa hoje Cr$ 100,00 e seu preço é aumentado, mensalmente, em 12% sobre o preço anterior. Se fizermos uma tabela do preço desse artigo mês a mês, obteremos uma progressão:

a) aritmética de razão 12.

b) aritmética de razão 0,12.

c) geométrica de razão 12.

d) geométrica de razão 1,12.

e) geométrica de razão 0,12.

 

71. (Uff 97) Sendo x um número real não nulo, a soma do 3Ž termo da Progressão Aritmética (x, 2x,...) com o 3Ž termo da Progressão Geométrica (x, 2x,...) é igual a:

a) 4x

b) 5x

c) 6x

d) 7x

e) 8x

 

72. (Fuvest 98) A seqüência aŠ é uma P.A. estritamente crescente, de termos positivos. Então, a seqüencia bŠ=3ò¾, n µ1, é uma

a) P. G. crescente.

b) P. A. crescente.

c) P. G. decrescente.

d) P. A. decrescente.

e) seqüencia que não é uma P. A. e não é uma P. G.

 

73. (Unicamp 98) Considere uma progressão geométrica de termos não-nulos, na qual cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos imediatamente anteriores.

a) Calcule os dois valores possíveis para a razão q dessa progressão.

b) Supondo que o primeiro termo seja (1-Ë5)/2 e q>0, calcule a soma dos três primeiros termos dessa progressão.

 

74. (Ita 97) Seja š um valor fixado no intervalo ]0, ™/2[. Sabe-se que a=cotgš é o primeiro termo de uma progressão geométrica infinita de razão q=sen£š. A soma de todos os termos dessa progressão é

a) cosec š tg š

b) sec š tg š

c) sec š cosec š

d) sec£ š

e) cosec£ š

 

75. (Uece 97) Seja (b, b‚, bƒ, b„) uma progressão geométrica de razão 1/3. Se b + b‚ + bƒ + b„ = 20, então b„ é igual a:

a) 1/2

b) 3/2

c) 5/2

d) 7/2

 

 

76. (Pucmg 97) O valor do produto 2 . ¥Ë2 . ©Ë2 . ¢§Ë2 ... é:

a) 1/2 Ë2

b) Ë2

c) 3/2 Ë2

d) 2Ë2

e) ¶

 

77. (Unirio 97) Num vídeo-game, um ponto luminoso se encontra em A sobre um segmento åæ de medida 12. Ao iniciar-se o jogo, o ponto luminoso se desloca para B e retorna, perfazendo na volta uma distância  igual à metade do caminho anterior, até um ponto C. Depois, retorna de C, no sentido do ponto B, percorrendo a metade do último percurso, até um ponto D e, assim, sucessivamente. Repetindo tal procedimento infinitas vezes, o ponto luminoso tende para um ponto cuja distância de A é igual a:

a) 7,4

b) 7,6

c) 7,8

d) 8

e) 9

 

78. (Ufrs 97) A sequência (x, xy, 2x), x · 0 é uma progressão geométrica. Então, necessariamente

a) x é um número irracional.

b) x é um número racional.

c) y é um número irracional.

d) y é um número racional.

e) x/y é um número irracional.

 

79. (Cesgranrio 98) Desde 1992, certo instituto de pesquisa vem monitorando, no início de cada ano, o crescimento populacional de uma pequena cidade do interior do estado. Os itens a seguir mostram o resultado dos três primeiros anos, em milhares de habitantes.

 

I- Ano de 1992, População(em milhares) = 25,6.

II- Ano de 1993, População(em milhares) = 38,4.

II- Ano de 1994, População(em milhares) = 57,6.

 

Mantendo-se esta mesma progressão de crescimento, o número de habitantes dessa cidade, no início do ano 2000, em milhares, será, aproximadamente, de:

a) 204

b) 384

c) 576

d) 656

e) 728

 

80. (Ita 98) Seja (a, a‚, aƒ, ...) uma progressão geométrica infinita de razão a, 0<a<1, e soma igual a 3a. A soma dos três primeiros termos desta progressão geométrica é:

a) 8/27

b) 20/27

c) 26/27

d) 30/27

e) 38/27

 

81. (Ita 98) Considere um cone circular reto cuja geratriz mede Ë5cm e o diâmetro da base mede 2cm. Traçam-se n planos paralelos à base do cone, que o seccionam determinando n+1 cones, incluindo o original, de modo que a razão entre os volumes do cone maior e do cone menor é 2. Os volumes destes cones formam uma progressão aritmética crescente cuja soma é igual a 2™. Então, o volume, em cm¤, do tronco de cone determinado por dois planos consecutivos é igual a:

a) ™/33

b) 2™/33

c) ™/9

d) 2™/15

e) ™

 

82. (Mackenzie 97) A soma S=3£¡+3¢ª.5+3¢©.5£+...+3£.5¢©+3.5¢ª+5£¡ é igual a:

a) (5£¢ - 3£¢)£

b) (5££ - 3££) / 2

c) (5££ - 3) / 2

d) 5£¢ - 3£¢

e) (5£¢ - 3£¢) / 2

 

83. (Mackenzie 97) Se k e n são números naturais tal qual é mostrado na figura a seguir,

 

então (n - 2)! é igual a:

a) 2

b) 6

c) 24

d) 120

e) 720

 

84. (Uel 97) Considere a progressão (-3, 1, -1/3, ...). O produto de seus 12 primeiros termos é

a) ¦¥Ë3

b) ¥Ë3

c) ¤¦Ë3

d) £¨Ë3

e) ¢£Ë3

 

85. (Cesgranrio 97) O número de assinantes de um jornal de grande circulação no estado aumentou, nos quatro primeiros meses do ano, em progressão geométrica, segundo os dados de uma pesquisa constantes na tabela a seguir.

 

 

Em relação ao mês de fevereiro, o número de assinantes desse jornal no mês de abril teve um aumento de:

a) 1600

b) 1510

c) 1155

d) 1150

e) 1050

 

86. (Cesgranrio 97) Segundo dados de uma pesquisa, a população de certa região do país vem decrescendo em relação ao tempo "t", contado em anos, aproximadamente, segundo a relação

 

Sendo P(o) uma constante que representa a população inicial dessa região e P(t) a população "t" anos após, determine quantos anos se passarão para que essa população fique reduzida ã quarta parte da que era inicialmente.

a) 6

b) 8

c) 10

d) 12

e) 15

 

87. (Unirio 96) O número que deve ser subtraído de 1, de 11/8 e de 31/16 para que os resultados formem uma P.G., nesta mesma ordem, é:

a) 2

b) 1/2

c) 1/4

d) 1/8

e) 1/16

 

88. (Cesgranrio 99) O professor G. Ninho, depois de formar uma progressão aritmética de 8 termos, começando pelo número 3 e composta apenas de números naturais, notou que o 2Ž, o 4Ž e o 8Ž termos formavam, nessa ordem, uma progressão geométrica. G. Ninho observou ainda que a soma dos termos dessa progressão geométrica era igual a:

a) 42

b) 36

c) 32

d) 28

e) 24

 

89. (Cesgranrio 99) Considere uma progressão geométrica de 5 termos e razão positiva, onde a soma do primeiro com o terceiro termo é 9/2 e o produto de seus termos é 1024. O produto dos três termos iniciais dessa progressão é igual a:

a) 1/2

b) 1

c) 2Ë2

d) 4Ë2

e) 8Ë2

 

90. (Fuvest 99) Seja (aŠ) uma progressão geométrica de primeiro

termo a = 1 e razão q£, onde q é um número inteiro maior que 1. Seja (bŠ) uma progressão geométrica cuja razão é q. Sabe-se que a=b‡.

Neste caso:

a) Determine o primeiro termo b em função de q.

b) Existe algum valor de n para o qual aŠ = bŠ?

c) Que condição n e x devem satisfazer para que aŠ = bÖ ?

 

91. (Ufrj 99) Uma progressão geométrica de 8 termos tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do produto de seus termos vale 36.

Ache a razão da progressão.

 

92. (Mackenzie 98) As seqüências (x, 2y-x, 3y) e (x, y, 3x+y - 1), de termos não nulos, são, respectivamente, aritmética e geométricas. Então, 3x + y vale:

a) -2

b) -1

c) 0

d) 1

e) 2

 

93. (Mackenzie 98) A seqüência (a, b, c) é uma progressão geométrica de razão não nula, com a<0 e c>8b-12a. A soma dos possíveis valores inteiros da razão é:

a) 7

b) 9

c) 12

d) 14

e) 20

 

94. (Mackenzie 98) Na seqüência geométrica (x£, x, logx), de razão q, x é um número real e positivo. Então, log q vale:

a) 1

b) -1

c) -2

d) 2

e) 1 / 2

 

95. (Puccamp 98) Sabe-se que a seqüência (x; y; 10) é uma progressão aritmética e a seqüência (1/y; 2; 3y+4) é uma progressão geométrica. Nessas condições, é correto afirmar que

a) a razão da progressão geométrica é 8.

b) a razão da progressão aritmética é 4.

c) y = 2x

d) x + y = 0

e) x . y = -16

 

96. (Uel 98) A dízima periódica 0,303030... pode ser escrita na forma 0,30+0,0030+0,000030+... e sua fração geratriz pode ser determinada pela expressão

a) (3/100)/(1-1/10)

b) (3/100)/(1-1/100)

c) (3/10)/(1-1/100)

d) (3/10)/(1-1/10)

e) 3/(1-1/100)

 

97. (Unb 98) Conta uma lenda que o rei de certo país ficou tão impressionado ao conhecer o jogo de xadrez que quis recompensar seu inventor, dando-lhe qualquer coisa que ele pedisse. O inventor, então, disse ao rei: "Dê-me simplesmente 1 grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, 2 grãos pela segunda casa, 4 grãos pela terceira, 8 grãos pela quarta e assim sucessivamente, até a 64.ò casa do tabuleiro". O rei considerou o pedido bastante simples e ordenou que fosse cumprido. Supondo que um grão de trigo tem massa igual a 0,05 g e que a produção mundial de trigo em 1997 foi de 560 milhões de toneladas, julgue os itens abaixo.

 

(1) O número de grãos de trigo devido ao inventor apenas pela 11.ò casa do tabuleiro é menor que 1.000.

(2) Até a 30.ò casa, seriam devidas ao inventor mais de 50 toneladas de grãos.

(3) A quantidade de trigo devida apenas pela 31.ò casa corresponde à quantidade recebida até a 30.ò casa acrescida de um grão.

(4) Seriam necessárias mais de 1.000 vezes a produção mundial de trigo de 1997 para recompensar o inventor.

 

98. (Puccamp 96) Uma progressão aritmética (P.A.) e uma progressão geométrica (P.G.), cujos termos são inteiros, têm o mesmo primeiro termo e a mesma razão. Se o quinto termo da P.A. é 11 e a diferença entre o segundo termo da P.G. e o segundo termo da P.A. é 1, então o quinto termo da P.G. é

a) 243

b) 162

c) 95

d) 48

e) 32

 

99. (Ufrs 96) Na seqüência de figuras, cada quadrado tem 1cm£ de área.

 

Supondo que as figuras continuem evoluindo no  mesmo padrão aqui encontrado, a área da figura 20 terá valor

a) entre 0 e 1000

b) entre 1000 e 10.000

c) entre 10.000 e 50.000

d) entre 50.000 e 100.000

e) maior que 100.000

 

100. (Unb 99) Considere a seguinte seqüência de resistores de 1 ², em que se acrescenta em cada passo , alternadamente, um resistor em série e outro em paralelo com o conjunto de resistores do passo anterior.

 

 

Sabendo que, se dois resistores de S² e T² estão em série, a resistência equivalente é igual à soma (S+T)² e que, caso estejam em paralelo, a resistência equivalente, R, é dada por 1/R=(1/S)+(1/T), e considerando R(n) a resistência equivalente total obtida no n-ésimo passo da seqüência acima descrita, julgue os itens que se seguem.

 

(1) O 7° passo da seqüência dará origem a uma associação de resistores equivalente à mostrada acima.

 

(2) R(6) = (13/8) ²

 

(3) Se R(2j) = a‚Œ/b‚Œ, em que j, a‚Œ e b‚Œ são números naturais, com jµ1, então a‚Œø=a‚Œ e a‚Œ=a‚Œ÷+b‚Œ÷, para todo jµ1.

 

(4) Se a seqüência fosse constituída somente por resistores em série, iniciando com um resistor de 1² e, em cada passo, incluindo-se um resistor de resistência igual ao dobro do último resistor acrescentado, então a resistência total obtida no 100° passo seria igual a (2¢¡¡-1)².

 

101. (Fatec 99) Se o lado, a altura e a área de um triângulo equilátero formam, nessa ordem, uma progressão geométrica, então a medida do lado desse triângulo é um número

a) irracional.

b) racional.

c) inteiro.

d) real e maior que Ë3.

e) real e compreendido entre Ë2 e Ë3.

 

102. (Unirio 99) Um sociólogo que estuda, há anos, a população de uma favela do Rio de Janeiro, chegou à conclusão de que a população dobra anualmente, devido aos problemas sociais e de migração interna. Sabendo-se que, em 1997, essa população era de 520 habitantes, e que a condição geográfica do local só suporta um máximo de 10.000 habitantes, essa mesma população deverá ser removida, no máximo, no ano de:

a) 1999

b) 2000

c) 2001

d) 2002

e) 2003

 

103. (Ita 99) O conjunto de todos os números reais q>1, para os quais a, a‚ e aƒ formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q e representam as medidas dos lados de um triângulo, é:

 

a) ]1, (1+Ë5)/2[

b) ]1, (1+Ë5)/2]

c) ]1, (1+Ë5)/Ë5]

d) ]1, (1+Ë5)/4[

e) ]1, 1+Ë5[

 

104. (Uff 99) São dadas duas progressões: uma aritmética (P.A.) e outra geométrica (P.G.).

Sabe-se que:

 

- a razão da P.G. é 2;

- em ambas o primeiro termo é igual a 1;

- a soma dos termos da P.A. é igual à soma dos termos da P.G.;

- ambas têm 4 termos.

 

Pode-se afirmar que a razão da P.A. é:

a) 1/6

b) 5/6

c) 7/6

d) 9/6

e) 11/6

 

105. (Uff 99) Considere a seqüência (x, x‚, ... , xŠ) tal que x=1/2 e xŠø= 0,5 xŠ.

Determine o valor de i de modo que x‹=1/2¢¡.

 

106. (Uff 99) Considere

 

S=(x-1)£+[(x-1)£/2]+[(x-1)£/4]+[(x-1)£/8]+...

 

Determine o(s) valor(es) de x que torna(m) S = 2.

 

107. (Ufrrj 99) Uma forte chuva começa a cair na UFRRJ formando uma goteira no teto de uma das salas de aula. Uma primeira gota cai e 30 segundos depois cai uma segunda gota. A chuva se intensifica de tal forma que uma terceira gota cai 15 segundos após a queda da segunda gota. Assim, o intervalo de tempo entre as quedas de duas gotas consecutivas reduz-se à metade na medida em que a chuva piora.

Se a situação assim se mantiver, em quanto tempo, aproximadamente, desde a queda da primeira gota, a goteira se transformará em um fio contínuo de água?

 

108. (Ufv 99) Na seqüência de quadrados representada nas figuras a seguir, cada novo quadrado tem seus vértices nos pontos médios do quadrado que o antecede.

 

 

Se o perímetro do primeiro quadrado é P e supondo que essa seqüência continue indefinidamente, calcule o perímetro:

 

a) do terceiro quadrado.

 

b) do n-ésimo quadrado.

 

109. (Uel 99) Os divisores positivos do número 3¢¡ são 3¡, 3¢, 3£ etc. A soma de todos esses divisores é

 

a) (3¢¢ - 1)/2

b) (3¢¡ - 1)/2

c) (3ª - 1)/2

d) 3¢¡

e) 3¢¡ - 1

 

110. (Ufes 99) Para que a soma dos n primeiros termos da Progressão Geométrica 3,6,12,24,... seja um número compreendido entre 50.000 e 100.000, devemos tornar n igual a

a) 16

b) 15

c) 14

d) 13

e) 12

 

111. (Uece 99) Uma certa substância duplica seu volume a cada minuto. Às 9 horas uma pequena quantidade desta substância é colocada num recipiente e uma hora depois, isto é,  às 10 horas, o recipiente estava completamente cheio. Nestas condições, a substância ocupava 1/4 da capacidade total do recipiente, às:

a) 9h15min

b) 9h 45min

c) 9h 58min

d) 9h 59min

 

 

112. (Ufsc 99) Sabendo que a seqüência (1-3x, x-2, 2x+1) é uma P.A. e que a seqüência (4y, 2y-1, y+1) é uma P.G., determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

 

01. A P.A. é crescente.

02. O valor de y é 1/8.

04. A soma dos termos da P.A. é zero.

08. -3/2 é a razão da P.G.

16. O valor de x é 2.

 

113. (Mackenzie 99) Seja a seqüência geométrica, de n termos positivos, que se obtém inserindo-se K meios geométricos entre 1/2 e 8. Se o produto de todos os termos é 32, então n vale:

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

 

114. (Mackenzie 99) Na figura, åæ e æè medem, respectivamente, 5 e 4. Então o valor mais próximo da medida de AB+BC+CD+ED+EF+... é:

a) 17

b) 19

c) 21

d) 23

e) 25

 

 

 

115. (Ufpr 2000) A sentença "a função f transforma uma progressão em outra progressão" significa que, ao se aplicar a função aos termos de uma progressão (a,a‚,aƒ,...), resulta nova progressão (f(a),f(a‚),f(aƒ),...). Assim, é correto afirmar:

 

(01) A função f(x) = 2x + 5 transforma qualquer progressão aritmética de razão r em outra progressão aritmética, esta de razão 5.

(02) A função f(x) = 3x transforma qualquer progressão aritmética de razão r em outra progressão aritmética, esta de razão 3r.

(04) A função f(x) = 2Ñ transforma qualquer progressão aritmética de razão r em uma progressão geométrica de razão 2 elevado à potência r.

(08) A função f(x) = logƒx transforma qualquer progressão geométrica de termos positivos e razão 9 em uma progressão aritmética de razão 2.

 

Soma (       )

 

116. (Unesp 2000) No dia 1Ž de dezembro, uma pessoa enviou pela internet uma mensagem para x pessoas. No dia 2, cada uma das x pessoas que recebeu a mensagem no dia 1Ž enviou a mesma para outras duas novas pessoas. No dia 3, cada pessoa que recebeu a mensagem no dia 2 também enviou a mesma para outras duas novas pessoas. E, assim, sucessivamente. Se, do dia 1Ž até o final do dia 6 de dezembro, 756 pessoas haviam recebido a mensagem, o valor de x é:

a) 12.

b) 24.

c) 52.

d) 63.

e) 126.

 

117. (Pucsp 2000) Considere uma progressão geométrica crescente, cujo primeiro termo é diferente de zero, e uma progressão aritmética decrescente cujo primeiro termo é zero. Somando-se os termos correspondentes das duas progressões, obtém-se a seqüência (2, 1, 2, a„, a…, ...). A diferença a…-a„ é igual a

a) 13

b) 15

c) 18

d) 20

e) 22

 

118. (Ufsm 2000) Numa plantação de eucaliptos, as árvores são atacadas por uma praga, semana após semana. De acordo com observações feitas, uma árvore adoeceu na primeira semana; outras duas, na segunda semana; mais quatro, na terceira semana e, assim por diante, até que, na décima semana, praticamente toda a plantação ficou doente, exceto sete árvores. Pode-se afirmar que o número total de árvores dessa plantação é

a) menor que 824.

b) igual a 1030.

c) maior que 1502.

d) igual a 1024.

e) igual a 1320.

 

119. (Uff 2000) A empresa ACME concedeu a seus funcionários mensalmente, durante dois meses, um reajuste fixo de x% ao mês. Se ao final desses dois meses o reajuste acumulado foi de 21%, o valor de x é:

a) 10

b) 10,5

c) 11

d) 11,5

e) 21

 

120. (Uff 2000) Os retângulos R, R‚ e Rƒ, representados na figura, são congruentes e estão divididos em regiões de mesma área.

 

 

Ao se calcular o quociente entre a área da região pintada e a área total de cada um dos retângulos R, R‚ e Rƒ, verifica-se que os valores obtidos formam uma progressão geométrica (P.G.) decrescente de três termos.

A razão dessa P.G. é:

a) 1/8

b) 1/4

c) 1/2

d) 2

e) 4

 

121. (Uff 2000) Numa progressão geométrica (P.G.) decrescente o primeiro termo é um número real positivo e cada termo, a partir do terceiro, é igual à sexta parte da soma dos dois termos imediatamente anteriores.

Determine a razão dessa P.G.

 

122. (Fuvest 2001) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:

a) 10

b) 12

c) 14

d) 16

e) 18

 

123. (Ita 2001) Um triângulo tem lados medindo 3, 4 e 5 centímetros. A partir dele, constrói-se uma seqüência de triângulos do seguinte modo: os pontos médios dos lados de um triângulo são os vértices do seguinte. Dentre as alternativas abaixo, o valor em centímetros quadrados que está mais próximo da soma das áreas dos 78 primeiros triângulos assim construídos, incluindo o triângulo inicial, é:

a) 8

b) 9

c) 10

d) 11

e) 12

 

124. (Ufpr 2001) Sendo a, b e x números reais tais que 3ò=2ö, 9ö=4Ñ e a · 0,  é correto afirmar:

 

(01) b = x log‚ 3

 

(02) Se a = 2, então b < 3.

 

(04) a, b e x, nesta ordem, estão em progressão geométrica.

 

(08) a + b = a log‚ 6

 

(16) 3 ò ® £ö = 2 ö ® £Ñ

 

Soma (       )

 

125. (Ufsc 2001) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

 

01. Existem 64 múltiplos de 7 entre 50 e 500.

02. O valor de x que satisfaz a equação (x+1)+(x+4)+(x+7)+...+(x+28)=155 é x=1.

04. O oitavo termo da P.G. (Ë2, 2, ...) é aˆ=16.

08. A soma dos termos da P.G. (1/3, 2/9, 4/27,...) é igual a 1.

 

126. (Ufscar 2001) Uma bola cai de uma altura de 30m e salta, cada vez que toca o chão, dois terços da altura da qual caiu. Seja h(n) a altura da bola no salto de número n. A expressão matemática para h(n) é:

a) 30.(2/3)¾

b) 2/3.(30)¾

c) 20.n

d) 2/3.n

e) (2/3)¾

 

127. (Ufc 2001) Sejam PŠ, P‚Š e PƒŠ os produtos dos n, 2n e 3n primeiros termos, respectivamente, de uma progressão geométrica cujo primeiro termo a e cuja razão q são números reais não nulos. Então, o quociente PƒŠ/(PŠ.P‚Š) depende:

a) apenas de n.

b) apenas de a e n.

c) apenas de q e n.

d) de q, a e n.

e) nem de q, nem de a, nem de n.

 

128. (Ufsc 2002) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

 

01. O 10Ž termo da seqüência, cujo termo geral é aŠ=4n+7, é a³=33.

 

02. Entre 20 e 1.200 existem 169 múltiplos de 7.

 

04. Se três números DISTINTOS formam uma progressão aritmética, então eles não formam uma progressão geométrica.

 

08. Uma seqüência de quadrados é construída a partir de um quadrado arbitrário dado, tomando-se para vértices de cada quadrado, a partir do segundo, os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Então, as áreas desses quadrados formam uma progressão geométrica de razão q=1/2.

 

129. (Unifesp 2002) Em uma seqüência de 8 números, a, a‚, ... , a‡, aˆ, os 5 primeiros termos formam uma progressão aritmética (P.A.) de primeiro termo 1; os 3 últimos formam uma progressão geométrica (P.G.) de primeiro termo 2.

Sabendo que a… = a† e a„ = a‡,

 

a) determine as razões da P.A. e da P.G.

 

b) escreva os 8 termos dessa seqüência.

 

130. (Ufrn 2002) As áreas dos quadrados a seguir estão em progressão geométrica de razão 2.

 

 

Podemos afirmar que os lados dos quadrados estão em

a) progressão aritmética de razão 2.

b) progressão geométrica de razão 2.

c) progressão aritmética de razão Ë2 .

d) progressão geométrica de razão Ë2 .

 

 

131. (Ita 2002) Considere n pontos distintos A, A‚, ... AŠ sobre uma circunferência de raio unitário, de forma que os comprimentos dos arcos AA‚, A‚Aƒ, ..., AŠ÷AŠ formam uma progressão geométrica de termo inicial ™ e razão 1/2. Para que valores de n Æ lN teremos o comprimento do arco AŠA menor que 1/512 do comprimento da circunferência?

Obs.: Para todo arco A‹AŒ, o comprimento considerado é o do arco que une o ponto A‹ ao ponto AŒ no sentido anti-horário.

 

132. (Fgv 2002) Na equação

 

o 1Ž membro é a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita. A soma das raízes da equação é:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

 

133. (Ufrj 2002) Um dos paradoxos atribuídos ao filósofo grego Zenão (que viveu por volta de 450 a.C.) é o de Aquiles e a tartaruga. Zenão teria afirmado que, por mais rápido que fosse, Aquiles jamais alcançaria a tartaruga.

Para fixar as idéias, vamos dar uma formulação teórica e simplificada da questão. Admitiremos que Aquiles é representado por um ponto A e a tartaruga, por um ponto J, que se movem sobre a mesma reta e no mesmo sentido, com velocidades constantes, sendo a velocidade de Aquiles igual a dez vezes a da tartaruga.

 

 

Suponha ainda que, no instante inicial, a distância entre Aquiles e a tartaruga seja d³ e que Aquiles leve um tempo t³ para percorrê-la. O argumento de Zenão é o seguinte: quando Aquiles chega ao ponto J³ em que estava a tartaruga no instante inicial, esta já se moveu para um ponto J; quando Aquiles chega a J, a tartaruga já se moveu para um ponto J‚, e assim sucessivamente, de forma que Aquiles e a tartaruga jamais estarão no mesmo ponto simultaneamente.

Com base nos dados acima, é verdadeira esta última afirmação? Justifique rigorosamente sua resposta.

 

134. (Puc-rio 2002) Um senhor tem a anos de idade, seu filho tem f anos de idade e seu neto, n. Sobre estes valores, podemos afirmar:

a) É impossível que a, f e n estejam em progressão aritmética.

b) É impossível que a, f e n estejam em progressão geométrica.

c) É impossível que a, f e n estejam simultaneamente em progressão aritmética e geométrica.

d) É possível que a, f e n estejam simultaneamente em progressão aritmética e geométrica.

e) É possível que a, f e n estejam em progressão aritmética, mas é impossível que estejam em progressão geométrica.

 

135. (Ufsm 2001) Assinale verdadeira (V) ou falsa (F) em cada afirmativa.

 

(     ) No primeiro semestre do ano 2000, a população mensal de uma fábrica de sapatos cresceu em progressão geométrica. Em janeiro, a produção foi de 3000 pares e, em junho, foi de 96.000 pares. Então, pode-se afirmar que a produção do mês de março e abril foi de 12.000 e 18.000 pares, respectivamente.

(     ) A seqüência (x¾­¥, x¾­£, x¾, x¾®£), x·0, é uma progressão geométrica de razão x£.

(     ) Uma progressão geométrica de razão q, com 0<q<1 e a>0, é uma progressão geométrica crescente.

 

A seqüência correta é

a) V - F - F.

b) F - V - F.

c) F - V - V.

d) V - V - F.

e) V - F - V.

 

136. (Ufv 2001) Seja S(x) = x - x¤ + x¦ - x¨ + ... + (-1)¾ x£¾­¢ + ... uma série geométrica. Se S(x)=6/13, então o valor de x é:

a) 3/2

b) 1/2

c) 1/3

d) 5/3

e) 2/3

 

137. (Pucpr 2001) Em uma progressão geométrica infinitamente decrescente, cuja soma é igual a 9 e a soma dos quadrados de todos os seus termos é 40,5, o seu 4° termo vale:

a) 3/8

b) 1/27

c) 5/32

d) 2/9

e) 4/27

 

138. (Uel 2001) Na figura abaixo, a aresta do cubo maior mede a, e os outros cubos foram construídos de modo que a medida da respectiva aresta seja a metade da aresta do cubo anterior. Imaginando que a construção continue indefinidamente, a soma dos volumes de todos os cubos será:

 

a) 0

b) a¤/2

c) 7a¤/8

d) 8a¤/7

e) 2a¤

 

 

 

139. (Ufrn 2001) Um fazendeiro dividiu 30km£ de suas terras entre seus 4 filhos, de idades distintas, de modo que as áreas dos terrenos recebidos pelos filhos estavam em progressão geométrica, de acordo com a idade, tendo recebido mais quem era mais velho. Ao filho mais novo coube um terreno com 2km£ de área.

O filho que tem idade imediatamente superior à do mais novo recebeu um terreno de área igual a:

a) 10 km£

b) 8 km£

c) 4 km£

d) 6 km£

 

 

140. (Ufscar 2000) A condição para que três números a, b e c estejam, simultaneamente, em progressão aritmética e em progressão geométrica é que

a) ac = b£.

b) a + c = 2b.

c) a + c = b£.

d) a = b = c.

e) ac = 2b.

 

141. (Ufal 99) As afirmações seguintes referem-se a progressões geométricas e/ou aritméticas.

 

(     ) Uma progressão geométrica é decrescente se sua razão é negativa.

(     ) O vigésimo termo da seqüência (-8,-3,2,7,...) é 87.

(     ) Uma seqüência pode ser, simultaneamente, progressão geométrica e progressão aritmética.

(     ) Se a seqüência (Ë2, 2, x) é uma progressão geométrica, então x=Ë2.

(     ) A soma dos termos da progressão aritmética (a, a‚, 12, a„, ..., a‰‡, 116, a‰‰, a³³) é 6400.

 

142. (Ufc 99) Verifique se existe uma progressão geométrica na qual três dos seus termos são 17, 51 e 119.

 

143. (Puc-rio 2000) Três números distintos podem estar simultaneamente em progressão aritmética e geométrica? Justifique a sua resposta.

 

144. (Ufal 2000) Em uma cultura de bactérias, o número de microorganismos duplica a cada 20 minutos. Iniciando-se com uma população de 100 bactérias, o tempo t necessário para se alcançar uma população de 5.000 bactérias é tal que

a) 1h < t < 1h40min

b) 1h40min < t < 2h

c) 2h < t < 2h30min

d) 2h30min < t < 2h50min

e) 2h50min < t < 3h

 

145. (Ufal 2000) Numa progressão aritmética crescente, cujo primeiro termo é 2, os termos a, a„ e a³ estão em progressão geométrica.  Determine a razão dessa progressão aritmética.

 

146. (Ufc 2000) Seja x=1+10+10£+...+10¾­¢ e y=10¾+5. Determine Ë(xy+1).

 

147. (Uflavras 2000) Sabendo-se que os números a³, a, 75, aƒ e 1875 estão em progressão geométrica, o valor de aƒ é

a) 100

b) 1500

c) 225

d) 375

e) 1125

 

148. (Ufpel 2000) Uma determinada planta aquática se reproduz intensamente. O número de indivíduos, em condições estáveis, é multiplicado por 3 a cada dia. Se, nas condições normais, iniciando com uma dessas plantas, são necessários 60 dias para preencher a superfície de um lago, iniciando com 3 das referidas plantas, a mesma superfície será preenchida no tempo de

a) 31 dias.

b) 20 dias.

c) 57 dias.

d) 59 dias.

e) 30 dias.

 

149. (Ufv 2000) As medidas do lado, do perímetro e da área de um quadrado estão, nesta ordem, em progressão geométrica. A diagonal desse quadrado mede:

a) 16Ë2

b) 10Ë2

c) 12Ë2

d) 14Ë2

e) 18Ë2

 

150. (Ufrrj 2000) Uma de nossas mais tradicionais festas juninas é realizada anualmente em Campina Grande, na Paraíba. Nesta festa dança-se a quadrilha, na qual os pares, para formarem o caracol, partem em fila puxados pelo líder, seguindo semicircunferência no sentido anti-horário.

A primeira semicircunferência é formada com 20m de raio, a segunda com raio igual a 2/3 da primeira a terceira com raio igual a 2/3 da segunda e assim sucessivamente.

Ao final, quantos metros serão percorridos pelo líder durante o movimento do caracol ?

 

151. (Mackenzie 2001) Se numa progressão geométrica de termos positivos o terceiro termo é igual à metade da razão, o produto dos três primeiros termos é igual a:

a) 1/4

b) 4

c) 1/8c) 8

d) 1/16

 

 

152. (Mackenzie 2001) O lado, a diagonal de uma face e o volume de um cubo são dados, nessa ordem, por três números em progressão geométrica. A área total desse cubo é:

a) 20

b) 48

c) 24

d) 18

e) 12

 

153. (Pucrs 2001) A seqüência numérica (x, x‚, xƒ, ..., x‚Šø), onde n é um número natural, é uma progressão geométrica de razão q=-1. A soma de seus termos é

a) -1

b) 0

c) 1

d) x‚Š

e) x‚Šø

 

154. (Pucrs 2001) Se o valor de um automóvel novo é P³ e sofre uma desvalorização de 12% ao ano, o preço do veículo após x anos de uso é

 

a) P=P³ + 12x

b) P=P³ + (1,2)Ñ

c) P=P³ (0,12)Ñ

d) P=P³ + (0,88)Ñ

e) P=P³ (0,88)Ñ

 

155. (Ufrs 2001) A tabela apresenta, em cada linha, o número de cabeças de um rebanho no final do ano dado.

 

 

Se o rebanho continuar decrescendo anualmente na progressão geométrica indicada pela tabela, no final de 2006 o número de cabeças do rebanho estará entre (Dado log 2=0,3010)

a) 10 e 80.

b) 80 e 100.

c) 100 e 400.

d) 400 e 800.

e) 800 e 1000.

 

156. (Uff 2002) Certas imagens captadas por satélites espaciais, quando digitalizadas, são representadas por normas geométricas de aspecto irregular ou fragmentado, conhecidas por fractais. Podem-se obter tais fractais pela alteração da forma original e uma curva por meio de um processo em que os exultados de uma etapa são utilizados como ponto de partida para a etapa seguinte.

Considere o processo tal que, em todas as tapas, cada segmento de reta é transformado em uma poligonal cujo comprimento é quatro vezes a terça parte do segmento original, como ilustrado na figura a seguir:

 

 

Por esse processo, a partir de um quadrado com 1 metro de lado, obtém-se a seqüência de figuras anterior.

 

O perímetro, em metro, do quinto polígono dessa seqüência é:

a) 4¥/3¤

b) 4¥/3¦

c) 4¦/3¥

d) 3¦/4¦

e) 3¥/4¥

 

157. (Uff 2002) Os termos gerais de duas seqüências são dados, respectivamente, por:

 

xŠ = 1/2¾  e yŠ = 1/ËxŠ , n Æ IN*

 

Considere a seqüência de termo geral aŠ=[(xŠ-xŠø).yŠ]/2, n Æ IN* e calcule:

 

a) a razão da progressão geométrica {a , a‚, ..., aŠ, ...};

 

b) a soma infinita S = a + a‚ + ... + aŠ + ...

 

158. (Ufjf 2002) Um aluno do curso de biologia estudou durante nove semanas o crescimento de uma determinada planta, a partir de sua germinação. Observou que, na primeira semana, a planta havia crescido 16 mm. Constatou ainda que, em cada uma das oito semanas seguintes, o crescimento foi sempre a metade do crescimento da semana anterior. Dentre os valores a seguir, o que MELHOR aproxima o tamanho dessa planta, ao final dessas nove semanas, em milímetros, é:

a) 48.

b) 36.

c) 32.

d) 30.

e) 24.

 

159. (Ufv 2002) Se a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica (P. G.) é dada por SŠ=1-(1/2¾), onde nµ1, então o nono termo desta P.G. é:

a) 2­©

b) 2­¢¡

c) 2­ª

d) 2©

e) 2ª

 

160. (Ufc 2002) Considere a função real de variável real definida por f(x)=2­Ñ. Calcule o valor de

 

            f(0) - f(1) + f(2) - f(3) + f(4) - f(5) + ...

 

161. (Ufrj 2003) A região fractal F, construída a partir de um quadrado de lado 1 cm, é constituída por uma infinidade de quadrados e construída em uma infinidade de etapas. A cada nova etapa consideram-se os quadrados de menor lado ( | ) acrescentados na etapa anterior e acrescentam-se, para cada um destes, três novos quadrados de lado | /3. As três primeiras etapas de construção de F são apresentadas a seguir.

 

 

Calcule a área de F. Justifique.

 

162. (Unesp 2003) Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5 cm. Forma-se uma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já houveram sido colocadas anteriormente.

 

 

Determine, ao final de 9 dessas operações,

a) quantas tábuas terá a pilha.

b) a altura, em metros, da pilha.

 

163. (Ita 2003) Considere a seguinte situação baseada num dos paradoxos de Zenão de Eléia, filósofo grego do século V A.C. Suponha que o atleta Aquiles e uma tartaruga apostam uma corrida em linha reta, correndo com velocidades constantes v(A) e v(T), com 0 < v(T) < v(A). Como a tartaruga é mais lenta, é-lhe dada uma vantagem inicial, de modo a começar a corrida no instante t = 0 a uma distância d > 0 na frente de Aquiles. Calcule os tempos t, t‚, tƒ,... que Aquiles precisa para percorrer as distâncias d, d‚, dƒ,..., respectivamente, sendo que, para todo n µ 2, dŠ denota a distância entre a tartaruga e Aquiles no instante

 

da corrida.

Verifique que os termos t(k), k = 1, 2, 3,..., formam uma progressão geométrica infinita, determine sua soma e dê o significado desta soma.

 

164. (Fuvest 2003) No plano cartesiano, os comprimentos de segmentos consecutivos da poligonal, que começa na origem 0 e termina em B (ver figura), formam uma progressão geométrica de razão p, com 0 < p < 1. Dois segmentos consecutivos são sempre perpendiculares. Então, se OA = 1, a abscissa x do ponto B = (x,y) vale:

 

 

 

a) (1 - p¢£)/(1 - p¥)

b) (1 - p¢£)/(1 + p£)

c) (1 - p¢§)/(1 - p£)

d) (1 - p¢§)/(1 + p£)

e) (1 - p£¡)/(1 - p¥)

 

165. (Ufes 2002) Na figura a seguir, o triângulo ABC é equilátero de lado igual a 1.

 

 

Considere o retângulo com dois vértices sobre a base BC e cujos outros dois vértices, B e C são os pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente. No triângulo ABC, considere o retângulo com dois vértices sobre a base BC e cujos outros dois vértices, B‚ e C‚ são os pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente. Continuando este processo indefinidamente, obtém-se uma seqüência de retângulos. A soma das áreas totais de todos os retângulos assim obtidos é igual a

a) Ë3/24

b) Ë3/12

c) Ë3/8

d) Ë3/6

e) Ë3/3

 

166. (Ufrn 2003) A seqüência de figuras abaixo representa os cinco primeiros passos da construção do conjunto de Sierpinski. Os vértices dos triângulos brancos construídos são os pontos médios dos lados dos triângulos escuros da figura anterior. Denominamos a, a‚, aƒ, a„ e a…, respectivamente, as áreas das regiões escuras da primeira, segunda, terceira, quarta e quinta figuras da seqüência.

 

 

Podemos afirmar que a, a‚, aƒ, a„ e a… estão, nessa ordem, em progressão geométrica de razão

a) 3/4

b) 1/2

c) 1/3

d) 1/4

 

 

167. (Ufjf 2003) Os comprimentos das circunferências de uma seqüência de círculos concêntricos formam uma progressão geométrica de razão 3. As áreas desses círculos formam uma:

a) progressão geométrica de razão 9.

b) progressão aritmética de razão 1/3.

c) progressão geométrica de razão 1/3.

d) progressão aritmética de razão 9.

e) progressão geométrica de razão 1/9.

 

168. (Pucrs 2003) O valor de x na equação x + (x/2) + (x/4) + (x/8) + ... = 10 é

a) 5

b) 10

c) 20

d) 1/2

e) 1/4

 

169. (Ufscar 2003) Numa progressão geométrica, o primeiro termo é 5Ñ e a razão é 5. Se a soma dos quatro primeiros termos é 3900, pode-se afirmar que 5Ñ­£/5, é igual a

a) 1/25

b) 1/5

c) 1

d) 5

e) 25.

 

170. (Uem 2004) A soma dos 2Ž, 4Ž e 7Ž termos de uma P.G. é 111. A soma dos 3Ž, 5Ž e 8Ž termos é 222. Então, pode-se afirmar que

01) a razão é q = 1/2.

02) aƒ = 6 e a† = 2¤ . 6.

04) a‚ - a = 2.

08) o décimo primeiro termo é 1536.

16) a soma dos 7 primeiros termos é igual a 333 + a + a†.

32) (a‚ . a„)/(a . aƒ) = (a„ . a†)/(aƒ . a…).

 

171. (Ufmg 2004) A população de uma colônia da bactéria E. coli dobra a cada 20 minutos.

Em um experimento, colocou-se, inicialmente, em um tubo de ensaio, uma amostra com 1.000 bactérias por mililitro. No final do experimento, obteve-se um total de 4,096 x 10§ bactérias por mililitro.

Assim sendo, o tempo do experimento foi de

a) 3 horas e 40 minutos.

b) 3 horas.

c) 3 horas e 20 minutos.

d) 4 horas.

 

 

172. (Unirio 2004) Há exatamente um ano, José iniciou uma criação de coelhos e, durante este período, o número de coelhos duplicou a cada 3 meses. Hoje, preocupado com a falta de espaço para os coelhos, José vai vender parte dessa criação, de modo que apenas a quantidade inicial fique com ele. Se N³ denota a quantidade inicial de coelhos, então a quantidade a ser vendida é

a) 15 N³

b) 13 N³

c) 12 N³

d) 8 N³

e) 7 N³

 

173. (Ufpe 2004) Quantas soluções a equação

            sen£x + [(sen¥x)/2] + [(sen§x)/4] + ... = 2,

cujo lado esquerdo consiste da soma infinita dos termos de uma progressão geométrica, de primeiro termo sen£x e razão (sen£x)/2, admite, no intervalo [0, 20™]?

 

174. (Unicamp 2004) Suponha que, em uma prova, um aluno gaste para resolver cada questão, a partir da segunda, o dobro de tempo gasto para resolver a questão anterior. Suponha ainda que, para resolver todas as questões, exceto a última, ele tenha gasto 63,5 minutos e para resolver todas as questões, exceto as duas últimas, ele tenha gasto 31,5 minutos. Calcule:

a) O número total de questões da referida prova.

b) O tempo necessário para que aquele aluno resolva todas as questões da prova.

 

175. (Uerj 2004) Considere a seguinte soma infinita:

            (1/2) + (2/4) + (3/8) + (4/16) + ...

No gráfico I, abaixo, cada parcela desta soma é representada pela área de um retângulo, e a soma infinita é determinada pela soma das áreas desses retângulos. No gráfico II, embora a configuração dos retângulos tenha sido alterada, as áreas se mantêm iguais.

 

 

Com base nessas informações, podemos afirmar que a soma infinita tem o seguinte valor:

a) 3/2

b) 2

c) 5/2

d) 4

 

 

176. (Uerj 2004) O fractal chamado floco de neve de Koch é obtido a partir de um triângulo eqüilátero, dividindo-se seus lados em 3 partes iguais e construindo-se, sobre a parte do meio de cada um dos lados, um novo triângulo eqüilátero.

 

 

Este processo de formação continua indefinidamente até a obtenção de um floco de neve de Koch.

Supondo que o lado do triângulo inicial meça 1 unidade de comprimento, a área do floco de neve de Koch formado será, em unidades quadradas, equivalente a:

a) (Ë3)/5

b) (Ë3)/4

c) 2(Ë3)/5

d) (Ë3)/2

 

 

177. (Ufes 2004) O governo federal, ao efetuar a restituição de impostos, permite que os contribuintes consumam mais. O gasto de cada contribuinte torna-se receita para outros contribuintes, que, por sua vez, fazem novos gastos. Cada contribuinte poupa 10% de suas receitas, gastando todo o resto.

O valor global, em bilhões de reais, do consumo dos contribuintes a ser gerado por uma restituição de impostos de 40 bilhões de reais é

a) 36

b) 40

c) 180

d) 360

e) 450

 

178. (Ufrn 2004) Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) é considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Aos 10 anos de idade, ele apresentou uma solução genial para somar os números inteiros de 1 a 100. A solução apresentada por Gauss foi 5050, obtida multiplicando-se 101 por 50, como sugere a figura abaixo.

 

 

Usando a idéia de Gauss como inspiração, responda quanto vale o produto

            1 × 2 × 4 × 8 × 16 × 32 × 64 × 128

a) 4¢£ª

b) 4¢£©

c) 129¥

d) 128¥

 

 

179. (Ufrrj 2004) A seqüência (x, 6, y, z, 162) é uma Progressão Geométrica. É correto afirmar que o produto de x por z vale

a) 36.

b) 72.

c) 108.

d) 144.

e) 180.

 

180. (Fuvest 2005) Uma seqüência de números reais a, a‚, aƒ, ... satisfaz à lei de formação

            aŠø = 6aŠ , se n é ímpar

            aŠø = (1/3) aŠ, se n é par.

Sabendo-se que a = Ë2 ,

a) escreva os oito primeiros termos da seqüência.

b) determine aƒ‡ e aƒˆ.

 

181. (Uerj 2005) Numa reserva florestal foram computados 3.645 coelhos. Uma determinada infecção alastra-se de modo que, ao final do primeiro dia, há cinco coelhos infectados e, a cada cinco dias, o número total de coelhos infectados triplica.

a) Determine a quantidade de coelhos infectados ao final do 21° dia.

b) Calcule o número mínimo de dias necessário para que toda a população de coelhos esteja infectada.

 

182. (Uerj 2005) Em uma cidade, a população que vive nos subúrbios é dez vezes a que vive nas favelas. A primeira, porém, cresce 2% ao ano, enquanto a segunda cresce 15% ao ano.

Admita que essas taxas de crescimento permaneçam constantes nos próximos anos.

a) Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios hoje é igual a 12,1 milhões de habitantes, calcule o número de habitantes das favelas daqui a um ano.

b) Essas duas populações serão iguais após um determinado tempo t, medido em anos.

Se t = 1/logx, determine o valor de x.

 

183. (Ufpe 2005) Em 2002, um banco teve lucro de um bilhão de reais e, em 2003, teve lucro de um bilhão e duzentos milhões de reais. Admitindo o mesmo crescimento anual para os anos futuros, em quantos anos, contados a partir de 2002, o lucro do banco ultrapassará, pela primeira vez, um trilhão de reais?

(Obs.: use as aproximações Øn (1000) ¸ 6,907, Øn (1,2) ¸ 0,182.)

 

184. (Ufrj 2005) O número de bactérias em uma certa cultura dobra a cada hora. A partir da amostra inicial, são necessárias 24 horas para que o número de bactérias atinja uma certa quantidade Q.

Calcule quantas horas são necessárias para que a quantidade de bactérias nessa cultura atinja a metade de Q.

 

185. (Puccamp 2005) Ao arremessar uma bola, verticalmente e para cima, uma atleta de ginástica rítmica desportiva perdeu o controle de uma bola que, ao descer, ela não conseguiu pegar. Essa bola, desce verticalmente e a cada choque com o solo, volta a subir e recupera apenas 2/3 da altura anterior. Considerando que a distância total percorrida por essa bola, desde o ponto mais alto até que pare, é igual a 23,70 m, a altura máxima que ela atingiu ao ser arremessada pela atleta é, em metros,

a) 2,38

b) 4,46

c) 4,74

d) 5,86

e) 7,90

 

186. (Unifesp 2005) No interior de uma sala, na forma de um paralelepípedo com altura h, empilham-se cubos com arestas de medidas 1, 1/3, 1/9, 1/27, e assim por diante, conforme mostra a figura.

 

 

O menor valor para a altura h, se o empilhamento pudesse ser feito indefinidamente, é:

a) 3

b) 5/2

c) 7/3

d) 2

e) 3/2

 

187. (Fgv 2005) A figura indica infinitos triângulos isósceles, cujas bases medem, em centímetros, 8, 4, 2, 1, ...

 

 

Sabendo que a soma da área dos infinitos triângulos hachurados na figura é igual a 51, pode-se afirmar que a área do retângulo de lados h e d é igual a

a) 68.

b) 102.

c) 136.

d) 153.

e) 192.

 

188. (Fgv 2005) Uma aplicação financeira rende juros de 10% ao ano, compostos anualmente. Utilizando para os cálculos as aproximações fornecidas na tabela, pode-se estimar que uma aplicação de R$ 1.000,00 seria resgatada no montante de R$ 1.000.000,00 após

 

 

a) mais de 1 século.

b) 1 século.

c) 4/5 de século.

d) 2/3 de século.

e) 3/4 de século.

 

189. (Uel 2005) O valor da soma infinita

(3/4) - (4/9) + (9/16) - (8/27) + (27/64) - (16/81) + ... é

a) 2/3

b) 5/6

c) 7/6

d) 5/3

e) 7/3

 

190. (Uel 2005) A partir de um quadrado de lado unitário com uma circunferência inscrita são construídos outros quadrados e circunferências como na seqüência mostrada na figura a seguir.

 

 

Considere as seguintes afirmativas:

I. A razão entre as áreas dos quadrados e das suas respectivas circunferências inscritas se mantém constante.

II. A partir do quadrado 2, a diagonal de um quadrado é igual ao lado do quadrado anterior.

III. As medidas dos lados dos quadrados formam uma progressão geométrica de razão 1/2.

IV. As diagonais dos quadrados pares formam uma progressão geométrica de razão 1/2.

 

Estão corretas apenas as afirmativas:

a) I e II.

b) I e III.

c) III e IV.

d) I, II e IV.

e) II, III e IV.

 

191. (Pucpr 2005) Uma formiga minúscula, cujo tamanho é desprezível, faz um percurso linear. Inicialmente, caminha para a direita uma distância de 1 m. Então, ela vira para a esquerda, caminhando metade da distância do seu ponto corrente.

Se a formiga continuar caminhando para a direita e para a esquerda, sempre andando a metade da distância previamente caminhada, a formiga percorrerá, a partir da origem, a distância de:

a) 1 m

b) 2 m

c) 4 m

d) 8 m

e) 10 m

 

192. (Ueg 2005) Considere Q um quadrado de lado 1. Considere também Q‚ o quadrado com vértices nos pontos médios do quadrado Q, o quadrado Qƒ com vértices nos pontos médios de Q‚, e assim sucessivamente. Seja SŠ a soma das áreas dos n primeiros quadrados assim obtidos. De acordo com esses dados, é CORRETO afirmar que pode-se escolher n de modo que

a) SŠ >1,9.

b) SŠ >2.

c) SŠ =1,6.

d) SŠ = 2.

e) SŠ =1,8.

 

193. (Fuvest 2006) Três números positivos, cuja soma é 30, estão em progressão aritmética. Somando-se, respectivamente, 4, - 4 e - 9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa progressão aritmética, obtemos três números em progressão geométrica. Então, um dos termos da progressão aritmética é

a) 9

b) 11

c) 12

d) 13

e) 15

 

194. (Ufpr 2006) João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma mesma seqüência de operações várias vezes para ver o que acontecia. Uma dessas experiências consistia em escolher um número x qualquer, somar 5 e dividir o resultado por 2, obtendo um novo número x‚. A seguir ele somava 5 a x‚ e dividia o resultado por 2, obtendo um novo número xƒ . Repetindo esse processo, ele obteve uma seqüência de números x , x‚ , xƒ , x„ , x… ,..., xŠ

Após repetir o processo muitas vezes, não importando com qual valor tivesse iniciado a seqüência de operações, João reparou que o valor xŠ se aproximava sempre do mesmo número. Que número era esse?

a) 5/2

b) 1

c) 15/2

d) 5

e) 0

 

195. (Ita 2006) Numa circunferência C de raio r= 3 cm está inscrito um hexágono regular H; em H está inscrita uma circunferência C‚; em C‚ está inscrito um hexágono regular H‚ e, assim, sucessivamente. Se AŠ (em cm£) é a área do hexágono HŠ, então

 

 

(em cm£) é igual a

a) 54Ë2

b) 54Ë3

c) 36(1 + Ë3 )

d) 27 / (2 - Ë3 )

e) 30 (2 + Ë3 )

 

196. (Ita 2006) Seja (a, a‚, aƒ, ... ,aŠ, ...) uma progressão geométrica infinita de razão positiva r, em que a= a é um número real não nulo. Sabendo que a soma de todos os termos de índices pares desta progressão geométrica é igual a 4 e que a soma de todos os termos de índices múltiplos de 3 é 16/13, determine o valor de a + r.

 

197. (Unesp 2006) No início de janeiro de 2004, Fábio montou uma página na internet sobre questões de vestibulares. No ano de 2004, houve 756 visitas à página. Supondo que o número de visitas à página, durante o ano, dobrou a cada bimestre, o número de visitas à página de Fábio no primeiro bimestre de 2004 foi

a) 36.

b) 24.

c) 18.

d) 16.

e) 12.

 

198. (Ufg 2006) A figura abaixo representa uma seqüência de quadrados {Q, Q‚, Qƒ, ...} sendo que o lado de Q mede 10 cm, os vértices de Q‚ são os pontos médios dos lados de Q, os vértices de Qƒ são os pontos médios dos lados de Q‚, e assim sucessivamente. Calcule a soma das áreas dos quadrados: A(Q) + A(Q‚) + ... +A(Q‚³³†).

 

 

 

199. (Uel 2006) Marlene confecciona leques artesanais com o formato de um setor circular, como representado na figura a seguir.

 

 

Para enfeitar os leques, usa pequenas contas brilhantes que dispõe da seguinte maneira: no vértice do leque, primeira fileira, coloca apenas uma conta; na segunda fileira horizontal posterior coloca duas contas; na terceira fileira horizontal coloca quatro, na quarta fileira horizontal dispõe oito contas e assim sucessivamente. Considere que Marlene possui 515 contas brilhantes para enfeitar um leque.

 

Com base nessas informações, é correto afirmar que o número máximo de fileiras completas nesse leque é:

a) 7

b) 8

c) 9

d) 10

e) 11

 

200. (Pucsp 2001) A soma dos n primeiros termos da seqüência (6,36,216,...,6¾,...) é 55.986. Nessas condições, considerando log2=0,30 e log3=0,48, o valor de log n é

a) 0,78

b) 1,08

c) 1,26

d) 1,56

e) 1,68

 

201. (Ufrs 2000) Se log a = 1,7, log b = 2,2 e log c = 2,7, então a, b, c, nesta ordem, formam uma

a) progressão geométrica de razão 10.

b) progressão geométrica de razão Ë10.

c) progressão geométrica de razão 0,5.

d) progressão aritmética de razão 0,5.

e) progressão aritmética de razão Ë10.

 

202. (Puc-rio 99) Suponha uma inflação mensal de 4% durante um ano. De quanto será a inflação acumulada neste ano? (Pode deixar indicado o resultado)

 

203. (Uel 99) Uma quantia de dinheiro Q, aplicada a juros compostos à taxa de i% ao mês, cresce mês a mês em progressão geométrica, sendo a=Q no início do primeiro mês, a‚=Q(100+i)/100 no início do segundo mês e assim por diante.

Nessas condições, aplicando-se R$1000,00 a juros compostos, à taxa de 5% ao mês, tem-se no início do terceiro mês o total de

a) R$ 2250,00

b) R$ 1150,25

c) R$ 1105,00

d) R$ 1102,50

e) R$ 1100,00

 

204. (Unesp 2005) Considere um triângulo eqüilátero T de área 16Ë3 cm£. Unindo-se os pontos médios dos lados desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo eqüilátero T‚, que tem os pontos médios dos lados de T como vértices.

Unindo-se os pontos médios dos lados desse novo triângulo obtém-se um terceiro triângulo eqüilátero Tƒ, e assim por diante, indefinidamente. Determine:

a) as medidas do lado e da altura do triângulo T, em centímetros;

b) as áreas dos triângulos T‚ e T‡, em cm£.

 

205. (Puccamp 2001) Considere a seqüência cujo termo geral é dado por aŠ=2¤­¾+i.2¥­¾, n Æ IN*. Se i é a unidade imaginária, o módulo da soma dos infinitos termos dessa seqüência é

a) Ë5

b) 2Ë5

c) 4Ë5

d) 6Ë5

e) 8Ë5

 

206. (Unesp 2004) Considere os números complexos w = 2i e z = (1 + i).

Determine:

a) z£ e (w£. Z + w), onde Z indica o conjugado de z.

b) |z| e |w|. Mostre que a seqüência (1, |z|, |w|, |zw|, |w£|) é uma progressão geométrica, determinando todos os seus termos e a sua razão.

 

207. (Ufrj 2004) z é um número complexo tal que z¨ =1, z · 1.

Calcule: 1 + z + z£ + z¤ + z¥ + z¦ + z§.

 

208. (Unicamp 2005) Um número complexo z = x + iy, z · 0, pode ser escrito na forma trigonométrica: z = l z l (cos š + isen š), onde  l z l = Ë(x£ + y£) , cos š= x/l z l e sen š = y/l z l. Essa forma de representar os números complexos não-nulos é muito conveniente, especialmente para o cálculo de potências inteiras de números complexos, em virtude da fórmula de De Moivre:

            [l z l (cos š + isen š)]  = l z l  (cos tš + isen tš)

que é válida para todo t Æ Z . Use essas informações para:

a) Calcular (Ë3 + i)¢£

b) Sendo z = [(Ë2)/2] + i [(Ë2)/2], calcular o valor de 1 + z + z£ + z£ + ... + z¢¦.

 

209. (Ita 97) Sejam a, a‚, aƒ e a„ números reais formando, nesta ordem, uma progressão geométrica crescente com a·0. Sejam x, x‚ e xƒ as raízes da equação ax¤+a‚x£+aƒx+a„=0. Se x=2i, então

a) x + x‚ + xƒ = -2

b) x + x‚ + xƒ = 1

c) x£ + x‚£ + xƒ£ = 4

d) x . x‚ . xƒ = 8

e) x . x‚ + x . xƒ + x‚ . xƒ = 5

 

210. (Ita 2000) Considere as matrizes reais mostradas na figura adiante

 

 

em que a·0 e a, b e c formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q>0. Sejam —, —‚ e —ƒ as raízes da equação det(M-—I)=0. Se

 

            ——‚—ƒ = a     e     — + —‚ + —ƒ = 7a,

 

então a£ + b£ + c£ é igual a

a) 21/8.

b) 91/9.

c) 36/9.

d) 21/16.

e) 91/36.

 

 


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GABARITO

 

1. [B]

 

2. [E]

 

3. 01 + 02 + 04 + 08 = 15

 

4. 28

 

5. a) 440

 

b) 10

 

6. 02 + 04 + 08 = 14

 

7. V V V V

 

8. [E]

 

9. [E]

 

10. [D]

 

11. 35

 

12. (3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

 

13. [E]

 

14. 01 + 04 + 08 = 13

 

15. [B]

 

16. [D]

 

17. 9

 

18. S = 1 - ‘ + ‘£ - ‘¤ + ... + (-‘)¾, ‘¾ = 1, ‘ · -1 e

n Æ IN

 

S é a soma dos (n + 1) primeiros termos de uma progressão geométrica de 1Ž termo a = 1 e razão g = -‘. Assim:

 

S = a (1 - q¾®¢) / (1 - q) =

= 1 [1 - (-‘)¾®¢] / [1 - (-‘) ] =

= [1 - (- ‘) . (- ‘)¾] / (1 + ‘) =

= [1 + ‘ (-‘)¾] / (1 + ‘)

 

Se n é par, temos (-‘)¾ = ‘¾ = 1 e assim:

S = 1

Se n é ímpar, temos (-‘)¾ = -‘¾ = -1 e assim:

S = (1 - ‘) / (1 + ‘)

 

19. [C]

 

20. [A]

 

21. [D]

 

22. a) a, b, e c formam uma PG de razão q, daí temos:

a<aq+aq£ Ìaq£+aq>0. Como a Æ IR*ø conclui-se que: q£+q-1>0.

 

b)  q£+q-1>0 e q >0Ì (-1+ Ë5)/2

 

23. [B]

 

24. [A]

 

25. [B]

 

26. [E]

 

27. Não. Ao escolher 4 números inteiros positivos e consecutivos, teremos sempre 2 pares e 2 ímpares, logo os possíveis produtos são:

 

(I) (nŽ par) x (nŽpar) · (nŽ ímpar) x (nŽ ímpar)

O 1Ž membro tem resultado par e o 2Ž membro tem resultado ímpar.

 

(II) (nŽ par) x (nŽ ímpar) · (nŽ par) x (nŽ ímpar)

Os fatores que compõem o 1Ž membro são diferentes dos fatores que compõem o 2Ž membro.

 

28. Observe a figura a seguir:

 

 

 

29. Observe a figura a seguir:

 

 

 

30. [D]

 

31. 6

 

32. [B]

 

33. [E]

 

34. 08

 

35. [E]

 

36. [B]

 

37. [E]

 

38. [B]

 

39. [B]

 

40. [C]

 

41. [B] e [E]

 

42. 16

 

43. 54

 

44. [C]

 

45. q = 1/2

 

46. [B]

 

47. [B]

 

48. a) (1,2)¾ . A e (1,2)¾­¢ . (0,2).A

b) Daqui a 6 anos aproximadamente.

 

49. [A]

 

50. [D]

 

51. a… = 12

 

52. 4

 

53. [E]

 

54. [B]

 

55. [D]

 

56. [A]

 

57. [B]

 

58. [D]

 

59. [D]

 

60. [E]

 

61. [D]

 

62. [D]

 

63. [D]

 

64. [E]

 

65. [E]

 

66. a) Depois de n anos a área infestada é 8 . (1,5)¾.

b) Em 7 anos a vegetação tomará conta de toda a represa.

 

67. a) As medidas das diagonais AA‚, A‚Aƒ, AƒA„, ..., formam uma P.G. de razão 1/2 com primeiro termo AA‚ = 1 dm.

 

Em figuras planas semelhantes, a razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança.

 

A razão de semelhança entre dois quadrados é igual à razão entre as medidas de suas diagonais.

 

Sendo S, S‚, Sƒ, ..., as áreas em dm£, dos quadrados das diagonais AA‚, A‚Aƒ, AƒA„, ..., respectivamente, tem-se:

 

S‚/S = Sƒ/S‚ = S„/Sƒ =... = (1/2)£ = 1/4

 

Portanto: S, S‚, Sƒ, ... formam, nesta ordem uma P.G. de razão 1/4.

 

b) (Ë2)/16 dm

 

68. [B]

 

69. [B]

 

70. [D]

 

71. [D]

 

72. [A]

 

73. a) q = (1+Ë5)/2 ou q = (1 - Ë5)/2

b) - 1 - Ë5

 

74. [C]

 

75. [A]

 

76. [D]

 

77. [D]

 

78. [C]

 

79. [D]

 

80. [E]

 

81. [C]

 

82. [E]

 

83. [B]

 

84. [A]

 

85. [C]

 

86. [B]

 

87. [C]

 

88. [A]

 

89. [C]

 

90. a) b = q¥

b) Sim, n = 5

c) 2n - x = 5

 

91. q = 10 ou q = -10

 

92. [A]

 

93. [C]

 

94. [B]

 

95. [A]

 

96. [C]

 

97. F V V V

 

98. [D]

 

99. [E]

 

100. F V V V

 

101. [A]

 

102. [C]

 

103. [A]

 

104. [E]

 

105. i = 10

 

106. x = 2 ou x = 0

 

107. Aproximadamente 1 minuto

 

108. a) aƒ = P/2

 

b) aŠ = P/Ë(2¾­¢)

 

109. [A]

 

110. [B]

 

111. [C]

 

112. 01 + 02 + 04 + 08 + 16 = 31

 

113. [A]

 

114. [E]

 

115. 02 + 04 + 08 = 14

 

116. [A]

 

117. [A]

 

118. [B]

 

119. [A]

 

120. [C]

 

121. A razão é 1/2.

 

122. [D]

 

123. [A]

 

124. 04 + 08 + 16 = 28

 

125. 01 + 02 + 04 + 08 = 15

 

126. [A]

 

127. [C]

 

128. 02 + 04 + 08 = 14

 

129. a) P.A. = 1/4

    P.G. = 7/8

 

b) (1; 5/4; 3/2; 7/4; 2; 2; 7/4; 49/32)

 

130. [D]

 

131. n Æ IN | n > 10

 

132. [A]

 

133. Aquiles alcança a tartaruga. Utilizando os dados do problema e considerando como origem a posição inicial de Aquiles, teremos a posição de Aquiles dada pela função:

a(t) = vt

 

A posição da tartaruga será dada por:

j(t) = d³ + vt/10, Aquiles alcança a tartaruga no instante t em que a(t)=j(t), que é dado por

vt = d³ + (vt/10), ou seja, t=10d³/9v.

 

Como v = d³/t³, temos t = (10/9) t³.

Na realidade, o "paradoxo" de Zenão está baseado na suposição de que a soma de uma infinidade de parcelas não pode ser um número finito.

 

No nosso caso, o tempo para que Aquiles alcance a tartaruga foi decomposto por Zenão em uma infinidade de intervalos:

 

t³, para ir de A³ a J³

t, para ir de J³ a J

...

...

...

tŠ, para ir de JŠ÷ a JŠ

...

...

 

Como a velocidade de Aquiles é 10 vezes a da tartaruga, temos que t=t³/10, t‚=t/10, ..., tŠ=tŠ÷/10.

 

Assim:

t³+t+t‚+...+tŠ = t³(1+1/10+1/10£+...+1/10¾­¢) =

[(1 - 1/10¾)/(1 - 1/10)].t³ = (10/9).(1 - 1/10¾).t³.

 

Ora, o limite da soma acima, quando n tende a infinito, é precisamente (10/9)t³ (que é o valor obtido acima para o tempo que Aquiles leva para alcançar a tartaruga).

 

Podemos então reduzir o "paradoxo" a duas abordagens:

 

1Ž Calculamos diretamente o tempo que Aquiles leva para alcançar a tartaruga e obtivemos t=(10/9)t³;

 

2Ž Decompusemos t como uma soma de infinitas parcelas. Note que a soma de infinitas parcelas não está definida no sentido aritmético.

Se, como implicitamente faz Zenão, postularmos que a soma de infinitas parcelas, todas positivas, é sempre infinita, teremos de fato um paradoxo. Se, como fazemos hoje, tal soma for definida como sendo o limite (caso exista) das somas parciais (que no caso é precisamente (10/9)t³), as duas abordagens conduzirão ao mesmo resultado e não haverá paradoxo algum.

 

134. [C]

 

135. [B]

 

136. [E]

 

137. [D]

 

138. [D]

 

139. [C]

 

140. [D]

 

141. F V V F V

 

142. Suponha que existisse uma progressão geométrica (PG) nessas condições.

Como o temo geral da PG é da forma aŠ=a.q¾­¢ (onde a é o primeiro termo e q é a razão) o quociente de dois termos é uma potência da razão.

Logo

 

(51/17) = 3 = qò e (119/17) = 7 = qö

 

Onde a e b são inteiros não nulos.

Portanto 3ö = qòö = 7ò e a igualdade 3ö = 7ò não se verifica quaisquer que sejam a e b inteiros não nulos.

 

143. Sejam a, a+b e a+2b três números em progressão aritmética. Para eles estarem também em progressão geométrica, precisamos ter a(a+2b)=(a+b)£

ou seja, a£+2ab=a£+2ab+b£,

isto é, b£=0, ou seja, b=0.

Se os números a, a+b e a+2b são distintos então b·0, e eles não podem estar em progressão geométrica.

 

144. [B]

 

145. r = 2/3

 

146. Ë(xy + 1) = (10¾ + 2)/3

 

147. [D]

 

148. [D]

 

149. [A]

 

150. 60™m

 

151. [C]

 

152. [E]

 

153. [E]

 

154. [E]

 

155. [C]

 

156. [C]

 

157. a) (Ë2)/2

 

b) (1 + Ë2)/4

 

158. [C]

 

159. [C]

 

160. 2/3

 

161. A área pedida, em cm£, é S = 1 + 3(1/3)£ + 9(1/9)£ + 27(1/27)£ + ... = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... = 3/2 cm£.

R.: S = 3/2 cm£

 

162. a) 256 tábuas

b) 1,28m

 

163. É uma P.G. infinita de primeiro termo d/v(A), razão v(A)/v(B) e soma d/(v(A) - v(B)), tempo necessário para Aquiles alcançar a tartaruga.

 

164. [D]

 

165. [D]

 

166. [A]

 

167. [A]

 

168. [A]

 

169. [B]

 

170. itens corretos: 02, 08 e 32

itens incorretos: 01, 04 e 16

 

171. [D]

 

172. [A]

 

173. 20

 

174. a) 8 questões

b) 127, 5 minutos

 

175. [B]

 

176. [C]

 

177. [D]

 

178. [D]

 

179. [C]

 

180. a) Ë2, 6Ë2, 2Ë2, 12Ë2, 4Ë2, 24Ë2, 8Ë2 e 48Ë2.

 

b) aƒ‡ =  2¢© . Ë2  e  aƒˆ=  2¢ª . 3Ë2

 

181. a) 405 coelhos

 

b) 31 dias

 

182. a) 1.265.000 habitantes

 

b) x = 115/102 1 ¸ 1,127

 

183. 38 anos

 

184. De acordo com o enunciado, a população de bactérias cresce segundo uma PG. Chamando de Q³ a população inicial (a) e sabendo que a razão desta PG é 2, o fenômeno pode ser descrito pelo seguinte modelo matemático:

            P(n) = Q³ . 2¾,

onde P(n) representa a quantidade de bactérias no instante n (em horas).

De acordo com os dados, temos:

            P(24) =  Q³ . 2£¥ Ì Q = Q³ . 2£¥.                       Queremos calcular o instante em que P(n) = Q/2.

Desse modo,

            Q/2 = Q³ . 2¾ Ì Q³ . 2£¥/2 =  Q³ . 2¾

 

            2£¤ = 2¾ ë n = 23 horas.

 

185. [C]

 

186. [E]

 

187. [C]

 

188. [E]

 

189. [D]

 

190. [D]

 

191. [B]

 

192. [A]

 

193. [C]

 

194. [D]

 

195. [B]

 

196. 11

 

197. [E]

 

198. 200 [1 - (1/2)£¡¡§] cm£.

 

199. [C]

 

200. [A]

 

201. [B]

 

202. 100 . [(1,04)¢£ - 1] por cento.

 

203. [D]

 

204. a) 8 cm e 4Ë3 cm

 

b) 4Ë3 cm£ e (Ë3)/256 cm£

 

205. [E]

 

206. a) z£ = 2i; w£. Z + w = -4 + 6i

b) |z| = Ë2 e |w| = 2. A seqüência (1; Ë2; 2; 2Ë2; 4) é uma PG de razão q = Ë2.

 

207. zero

 

208. a) 4096

 

b) 0

 

209. [A]

 

210. [A]