SISTEMAS LINEARES 1

 

TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES.

(Unirio 2002) Três amigos foram assistir a uma partida de basquetebol no Maracanãzinho. No intervalo fizeram um lanche e juntos gastaram R$ 13,90. O primeiro comprou 2 cachorros-quentes, 1 saco de batatas fritas e 1 refrigerante, gastando R$ 4,40. O segundo gastou R$ 5,80 na compra de 1 cachorro-quente, 2 refrigerantes e 2 sacos de batatas fritas.

 

1. Determine o preço do refrigerante sabendo que o terceiro dos três amigos comprou um refrigerante e dois sacos de batatas fritas.

 

2. Quanto seria gasto na compra de 4 cachorros-quentes, 6 refrigerantes e 6 sacos de batatas fritas?

 

3. (Ufal 2000) Um polinômio p, do segundo grau, é tal que

 

ýp(-1) = -3

þp(1) = 3

ÿp(2) = 12

 

Após determinar p, encontre o valor de p(3).

 

4. (Unicamp 2005) A função y = ax£ + bx + c, com a · 0, é chamada função quadrática.

a) Encontre a função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos A(0, 2), B(-1, 1) e C(1, 1).

b) Dados os pontos A(x³, y³), B(x, y) e C(x‚, y‚), mostre que, se x³ < x < x‚ e se os pontos A, B e C não pertencem a uma mesma reta, então existe uma única função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos A, B e C.

 

5. (Ita 96) Sejam a, a‚, aƒ, a„ quatro números reais (com a·0), formando nessa ordem uma progressão geométrica. Então, o sistema em x e y

 

ýax + aƒy = 1

þ

ÿaa‚x + aa„y = a‚

 

é um sistema

a) impossível.

b) possível determinado.

c) possível indeterminado.

d) possível determinado apenas para a > 1.

e) possível determinado apenas para a < -1.

 

6. (Fgv 97) Nas sentenças a seguir classificá-las em: verdadeiras (V) ou falsas (F). No caso de você classificar uma sentença como falsa, justifique sua resposta.

a) Se A, B e C são matrizes de ordem 2 e AB=AC, então B=C.

b) Uma matriz identidade admite como matriz inversa ela própria.

c) Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, então det(3A)=3det(A).

d) As equações a seguir formam um sistema linear possível e determinado:

     x + y - 2z = 1 e

     3x - y - z = 0

 

7. (Fuvest 94) João diz a Pedro: se você me der 1/5 do dinheiro que possui eu ficarei com uma quantia igual ao dobro do que lhe restará. Por outro lado, se eu lhe der CR$6.000,00 do meu dinheiro nós ficaremos com quantias iguais. Quanto dinheiro possui cada um?

 

8. (Fuvest 94) Considere o sistema:

 

ý            x - my = 1 - m

þ

ÿ(1 + m) x + y  = 1

 

a) Prove que o sistema admite solução única para cada número real m.

b) Determine m para que o valor de x seja o maior possível.

 

9. (Unicamp 92) O IBGE contratou um certo número de entrevistadores para realizar o recenseamento em uma cidade. Se cada um deles recenseasse 100 residências, 60 delas não seriam visitadas. Como, no entanto, todas as residências foram visitadas e cada recenseador visitou 102, quantas residências tem a cidade?

 

10. (Fuvest 95) Sendo (x, y) e (x‚, y‚) as soluções do sistema

 

ýx£+3xy=0

þ

ÿx-y=2

 

então y+y‚ é igual a:

a) -5/2.

b) -3/2.

c) 3/2.

d) 5/2.

e) 3.

 

11. (Ita 95) Se S é o conjunto dos valores de a para os quais o sistema:

 

ý                      x + y + z = 0

þ          x + (logƒa)£y + z = 0

ÿ2x + 2y + [logƒ(27/a)]z = 0

 

é indeterminado, então:

a) S Å [-3, 3]

b) S é vazio

c) S Å [2, 4]

d) S Å [1, 3]

e) S Å [0, 1]

 

12. (Pucsp 95)          ý27Ñ =9Ò

Se       þ                                             ,então x+y é igual a:

            ÿlogÙx =2

 

a) 5/3.

b) 10/9.

c) 8/9.

d) 2/3.

e) 5/9.

 

13. (Unicamp 95) Em um restaurante, todas as pessoas de um grupo pediram um mesmo prato principal e uma mesma sobremesa. Com o prato principal o grupo gastou R$56,00 e com a sobremesa R$35,00; cada sobremesa custou R$3,00 a menos do que o prato principal.

a) Encontre o número de pessoas neste grupo.

b) Qual o preço do prato principal?

 

14. (Unicamp 95) Encontre o valor de a para que o sistema

 

ý2x - y + 3z = a

þx + 2y - z = 3

ÿ7x + 4y + 3z = 13

 

seja possível. Para o valor encontrado de a ache a solução geral do sistema, isto é, ache expressões que representem todas as soluções do sistema. Explicite duas dessas soluções.

 

15. (Unesp 95) Seja (1, 1, 1) uma solução particular do sistema linear

 

ýx+ay=2

þ

ÿ2x+by-az=0,

 

nas incógnitas x, y e z. Nessas condições, o conjunto solução do sistema é;

a) {(x, - x + 2, 3x - 2) | x Æ IR}.

b) {(1, 1, 1)}.

c) {(x, x - 2, 3x - 2) | x Æ IR}.

d) {( - y + 2, y, 5y - 4) | y Æ IR}.

e) {(z, z, z) | z Æ IR}.

 

16. (Unitau 95) O sistema

 

ý    x - 2y = 5

þ

ÿ-3x + 6y = -15

 

a) é possível e determinado.

b) é possível e indeterminado.

c) é impossível.

d) tem determinante principal diferente de zero.

e) não admite nenhuma raiz real.

 

17. (Unitau 95) Para que valores de k o sistema a seguir, não tem solução?

 

ý4x£ + 9y£ = 36

þ

ÿ  x£ + y£ = k£

 

18. (Unitau 95) Calcule o valor de k para que o sistema a seguir tenha solução diferente da trivial.

 

ý3x + y + z = 0

þ2x + (2 - k)y + 2z = 0

ÿx + y + (1 - k)z = 0

 

19. (Unitau 95) Para que valores de k o sistema a seguir é possível e determinado?

 

ý2x - y - 3z = -5

þx + 2y - 3z = k

þ2x + y + z = 7

ÿx + y - z = 0

 

20. (Fuvest 91) Existem dois valores de m para os quais tem solução única o sistema:

 

ýx   +  y  = m

þ

ÿx£ +  y£ = 4

 

A soma desses dois valores de m é:

a) -2

b) -2Ë2

c) 0

d) 2

e) 2Ë2

 

21. (Fuvest 91)         ý2y + x = b

S=       þ2z  - y = b

            ÿaz + x = b

 

Resolva o sistema S para:

a) a = 0  e  b = 1

b) a = 4  e  b = 0

 

22. (Unesp 91) Seja o sistema linear

 

            ýx - 2y = 1

S=       þ2x - y = a

            ÿx - ay = -26

 

Determinar os seguintes subconjuntos de R:

L = {a Æ R: S é possível determinado}

L‚ = {a Æ R: S é possível indeterminado}

Lƒ = {a Æ R: S é impossível}

 

23. (Fuvest-gv 91) Determinar quatro números reais de modo que suas somas, três a três, sejam 10, 11, 12 e 13.

 

24. (Fuvest 92) Carlos e sua irmã Andréia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos superiores a 60kg. Assim eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:

 

- Carlos e o cão pesam juntos 87 kg;

- Carlos e Andréia pesam 123 kg e

- Andréia e Bidu pesam 66 kg.

 

Podemos afirmar que:

a) Cada um deles pesa menos que 60kg.

b) Dois deles pesam mais de 60kg.

c) Andréia é a mais pesada dos três.

d) O peso de Andréia é a média aritmética dos pesos de Carlos e Bidu.

e) Carlos é mais pesado que Andréia e Bidu juntos.

 

25. (Fuvest 92) a) Resolva o sistema:

 

ý2x - y = - 3

þ                                      

ÿ- x + y = 2

 

onde x e y são números reais.

 

b) Usando a resposta do item (a) resolva o sistema:

 

ý2(a£ - 1) - (b - 1)£ = - 3

þ

ÿ- (a£ - 1) + (b - 1)£ = 2

 

26. (Unicamp 92) Sejam A e B duas matrizes de ordem n x m e m x n, respectivamente, com m<n. Prove que det(A.B)=0, baseado em propriedades do sistema de equações lineares.

 

 

 

27. (Unesp 92) Um negociante trabalha com as mercadorias A, B, e C de cada uma das quais tem um pequeno estoque não nulo. Se vender cada unidade de A por R$2,00, cada uma de B por R$3,00 e cada uma de C por R$4,00, obtém uma receita de R$50,00. Mas se vender cada unidade respectivamente por R$2,00, R$6,00 e R$3,00, a receita será de R$60,00. Calcular o número de unidades que possui de cada uma das mercadorias.

 

28. (Fuvest 93) Resolva o sistema:

 

ý2/u + 3/v = 8

þ

ÿ1/u - 1/v = -1

 

29. (Unicamp 93) Resolva o seguinte sistema de equações lineares:

 

 

 

30. (Fuvest 96) Considere o sistema de equação lineares

 

ýx + y + z = -2n

þx - y - 2z = 2n

ÿ2x + y - 2z = 3n + 5

 

a) Para cada valor de n, determine a solução (xŠ,yŠ,zŠ) do sistema.

b) Determine todos os valores de n, reais ou complexos, para os quais o produto xŠyŠzŠ é igual a 32.

 

31. (Ufes 96) Por ocasião do Natal, uma empresa gratificará seus funcionários com um certo número de cédulas de R$50,00. Se cada funcionário receber 8 cédulas, sobrarão 45 delas; se cada um receber 11 cédulas, faltarão 27.

O montante a ser distribuído é

a) R$ 9.600,00

b) R$ 10.550,00

c) R$ 11.850,00

d) R$ 13.250,00

e) R$ 15.000,00

 

32. (Ufes 96) Resolva o sistema linear

 

ý2x + 3y + z = 11

þx + y + z = 6

ÿ5x + 2y + 3z = 18

 

33. (Fei 94) Se P= (a, b) é o ponto de intersecção das retas

 

ý9x - 3y - 7 = 0

þ

ÿ3x + 6y - 14 = 0

 

então a + b é igual a:

a) 3

b) 1/3

c) 4/3

d) 5/3

e) 11/3

 

34. (Fei 94) Se as retas de equações:

 

ýx + 2y - 2a = 0

þax - y - 3 = 0

ÿ2x - 2y - a = 0

 

são correntes em um mesmo ponto, então:

a) a = 4 ou a = 2/3

b) a = -3/2 ou a = 2/3

c) a = 2 ou a = -3/2

d) a = 1 ou a = 4

e) a = 0 ou a = 5

 

35. (Fei 95) Se o sistema linear a seguir, é impossível,

 

ýax + y + z = 1

þx - 2y + 3z = 0

ÿ2x + y - 3z = 2

 

então:

a) a = 0

b) a = -14/3

c) a = 3/4

d) a = 1

e) a = 28

 

36. (Ufpe 96) Perguntado sobre a idade de seu filho Júnior, José respondeu o seguinte: "Minha idade quando somada à idade de Júnior é igual a 47 anos; e quando somada à idade de Maria é igual a 78 anos. As idades de Maria e Júnior somam 39 anos." Qual a idade de Júnior?

a) 2 anos

b) 3 anos

c) 4 anos

d) 5 anos

e) 10 anos

 

37. (Ufpe 96) Se (a, b, c) é a solução do sistema

 

ýx + 2y - z = 0

þx - y + z = 1

ÿ3x + y +2z = 5

 

Calcule (a + b + c)¥.

 

38. (Puccamp 95) Um certo número de alunos fazia prova em uma sala. Em um dado momento, retiraram-se da sala 15 moças, ficando o número de rapazes igual ao dobro do número de moças. Em seguida, retiraram-se 31 rapazes, ficando na sala igual ao número de moças e rapazes. O total de alunos que fazia prova nessa sala era

a) 96

b) 98

c) 108

d) 116

e) 128

 

39. (Uel 94) O sistema

 

ýax + 3 y = 2

þ

ÿ2x - y = 0

 

é possível e determinado

a) para qualquer valor de a

b) somente para a = 0

c) somente para a = 6

d) se a · 0

e) se a · -6

 

40. (Uel 96) Considere o seguinte sistema de equações nas incógnitas x e y:

 

ý3kx + y = 5

þ

ÿx + y = 2

 

Esse sistema tem uma e uma só solução se o número real k for diferente de

a) 1/5

b) 1/4

c) 2/5

d) 1/3

e) 3/2

 

41. (Uel 96) Numa loja, os artigos A e B, juntos, custam R$70,00, dois artigos A mais um C custam R$105,00 e a diferença de preços entre os artigos B e C, nessa ordem, é R$5,00. Qual é o preço do artigo C?

a) R$ 20,00

b) R$ 25,00

c) R$ 30,00

d) R$ 35,00

e) R$ 40,00

 

42. (Uel 96) Um lojista pretende colocar um certo número de agasalhos em algumas prateleiras, de modo que o número de peças em cada prateleira seja o mesmo. Se colocar 9 agasalhos em cada prateleira, duas delas deixarão de ser usadas; entretanto, se colocar 7 em cada uma, usará todas as prateleiras. O número de agasalhos que ele deve acomodar é

a) 52

b) 56

c) 58

d) 61

e) 63

 

43. (Ufmg 94) Um barril cheio, contendo uma mistura com 70% de vinho puro e 30% de suco, custa CR$24.000,00. O preço do litro de vinho puro é CR$600,00 e o preço do litro do suco é CR$200,00.

A capacidade do barril, em litros, é

a) 30

b) 40

c) 50

d) 75

e) 120

 

44. (Ufmg 94) O conjunto de todos os valores reais de m para os quais sistemas da forma

 

ýy = mx£ + 3x + 1

þ

ÿy = 7x - 1

 

têm solução única é:

a) {0}

b) {1}

c) {2}

d) {0,1}

e) {0,2}

 

45. (Ufmg 94) Supondo-se que 48 quilogramas de chumbo custam o mesmo que 56.000 gramas de aço e 7 quilogramas de aço custam CR$300,00 o preço de 150 quilogramas de chumbo é

a) CR$ 7.500,00.

b) CR$ 9.000,00

c) CR$ 12.600,00.

d) CR$ 13.500,00.

e) CR$ 16.500,00.

 

46. (Ufmg 94) DETERMINE os valores de a e b para que o sistema

 

ýx + y - 2z = 0

þ2x + y + z = b

ÿx + ay + z = 0

 

a) tenha solução única.

b) tenha infinitas soluções.

c) não tenha soluções.

 

47. (Ufmg 95) As retas de equações 3x-2y+8=0 e -2x+y-5=0 interceptam-se no ponto P.

A alternativa que representa adequadamente os gráficos dessas retas e a posição do ponto P, no mesmo plano cartesiano, é

 

 

 

48. (Ufmg 95) Uma indústria produz três produtos, A, B e C, utilizando dois tipos de insumo, X e Y. Para a manufatura de cada quilo de A são utilizados 1 grama do insumo X e 2 gramas de insumo Y; para cada quilo de B, 1 grama de insumo X e 1 grama de insumo Y e, para cada quilo de C, 1 grama de X e 4 gramas de Y. O preço de venda do quilo de cada um dos produtos A, B e C é R$2,00, R$3,00 e R$5,00, respectivamente.

Com a venda da produção de A, B e C manufaturada com 1 quilo de X e 2 quilos de Y, essa indústria arrecadou R$2.500,00.

Determine quanto quilos de cada um dos produtos A, B e C foram vendidos.

 

49. (Unirio 95) Luís e Maria resolveram comparar suas coleções de CDs. Descobriram que têm ao todo 104 "compact disks" e que, se Maria tivesse 12 CDs a menos, teria o triplo do número de discos do Luís.

É possível afirmar que a quantidade de CDs que Luís possui é:

a) 23

b) 29

c) 31

d) 52

e) 75

 

50. (Unesp 89) Misturam-se dois tipos de leite, um com 3% de gordura outro com 4% de gordura para obter, ao todo, 80 litros de leite com 3,25% de gordura. Quantos litros de leite de cada tipo foram misturados?

 

51. (Unesp 89) Um indivíduo fez uma viagem de 630 km. Teria gasto menos 4 dias se tivesse caminhado mais 10km por dia. Quantos dias gastou na viagem e quantos quilômetros caminhou por dia?

 

52. (Unesp 89) Determine "p", "q", "r", "s" de modo que o sistema linear a seguir seja possível e indeterminado. Calcule a solução que satisfaz x=y£.

 

ý2x + 6y = 8

þx + py = r

ÿ5x + qy = s

 

53. (Unesp 96) O quadro, reproduzido da revista VEJA (07/06/95), mostra quanto renderam os investimentos do início de 1995 a 31 de maio desse ano.

Considerando esses dados, suponhamos que uma pessoa, no primeiro dia útil de 1995, tenha investido na poupança metade das economias que possuía e investido no dólar paralelo e outra metade. Se o rendimento global obtido por ela no período foi de R$400,00, quanto investiu ao todo?

 

 

 

54. (Unesp 90) Determine um valor de p que torne incompatível o seguinte sistema:

 

ý3x + 2y - 5z = 3

þ2x - 6y + pz = 9

ÿ5x - 4y - z = p

 

55. (Unaerp 96) Dado o sistema:

 

ýmx + 3y - mz = 1

þ2x - 5y + 2z = 0

ÿx + y - z = 1

 

para m = 3, o sistema é:

a) determinado

b) possível

c) possível e determinado

d) impossível

e) indeterminado

 

56. (Pucsp 96) Considere o seguinte sistema de equações de incógnitas x e y:

 

ý6x + 2y = 4

þ3x + 5y = 6

ÿkx + 2y = 5

 

Esse sistema tem uma única solução para certo número real k que é um

a) quadrado perfeito.

b) número primo.

c) número racional não inteiro.

d) número negativo.

e) múltiplo de 5.

 

57. (Fgv 96) Considere o sistema linear nas incógnitas x e y;

 

mx - 2y = 3

4x + y = n

 

a) Para que valores de m e n o sistema é determinado? indeterminado? impossível?

b) Resolva o sistema para m = 3 e n = -2

 

58. (Ufc 96) Determine os números inteiros a, b e c que satisfazem as igualdades a-b=2, b+c=5 e 2a-c=8.

 

59. (Mackenzie 96) I - Pode ser impossível.

II - Nunca admite solução única.

III- Pode ser indeterminado.

 

As afirmações acima referem-se ao sistema

 

ý n­¢ x + 3y = 4

þ

ÿ2x + 9¾y = n­£,

 

no qual n é um número real não nulo. Então:

a) todas estão corretas.

b) todas são falsas.

c) somente I e II são falsas.

d) somente I e III são falsas.

e) somente II e III são falsas.

 

60. (Mackenzie 96) A representação gráfica dos pares (x, y) de números reais tais que

 

ý2x + 3y = 2 

þ

ÿ4x + ¤Ë(6¾)y = 10 é uma reta.

 

Então:

a) 2n = 5t.

b) n = log‚t.

c) t = log‚5.

d) t = 5n/2.

e) 0 < t + n < 1.

 

61. (Faap 96) Seja o sistema linear

 

 

A única alternativa correta é;

a) se k = 1 a única solução é x = y = z = 0

b) o sistema é impossível

c) o sistema tem infinitas soluções para qualquer k

d) somente se k = 0 o sistema é impossível

e) não é possível investigar o sistema com os dados disponíveis

 

62. (Udesc 96) Encontre o valor real de r para que o sistema a seguir admita uma ÚNICA solução (a,b,c).

 

ýa + 7b - c = 0

þa + b + r = 2

ÿ2a - b + c = 1

 

A resposta é:

a) ¯ r real

b) r = -1/5

c) r · -1/5

d) r · 1/5

e) r = 1/5

 

63. (Fgv 95) Se a terna ordenada (a, b, c), de números reais, é solução do sistema

 

ýx + y - z = 0

þx - y + z = 2

ÿ2x + y - 3z = 1, então a soma a + b + c é igual a

 

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

 

64. (Ufpe 95) Suponha que x,y e z são números reais tais que x-2y+3z=5 e -x+9y+2z=2. Qual o valor de 2x+3y+11z?

 

65. (Uel 95) Se os sistemas

 

ý2x + 3y = -1

þ

ÿ3x + 2y = -4

        

         e

 

ýax - 3y = 0

þ

ÿ2x - by = 0

 

são equivalentes, então a + b é igual a

a) -7/2

b) -4

c) -9/2

d) -5

e) -11/2

 

66. (Fuvest 97) ý x + 4z = -7

þ x - 3y = -8

ÿ y + z = 1

 

Então, x + y + z é igual a

a) -2

b) -1

c) 0

d) 1

e) 2

 

67. (Fuvest 97) Durante uma viagem choveu 5 vezes. A chuva caia pela manhã ou à tarde, nunca o dia todo. Houve 6 manhãs e 3 tardes sem chuva. Quantos dias durou a viagem?

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

 

68. (Fuvest 97) O valor, em reais, de uma pedra semipreciosa é sempre numericamente igual ao quadrado de sua massa, em gramas. Infelizmente uma dessas pedras, de 8 gramas, caiu e se partiu em dois pedaços. O prejuízo foi o maior possível. Em relação ao valor original, o prejuízo foi de

a) 92 %

b) 80 %

c) 50 %

d) 20 %

e) 18 %

 

69. (Fatec 97) O sistema,

 

ý2 + 3y -z = 3

þx + y + 2z = 3                     

ÿx - y + 4z = 1

 

tem como única solução a terna de números reais

(x³ + y³, 1).

 

Nessas condições, tem-se que:

a) x³ = 1

b) y³ = 1

c) x³ = -1

d) y³ = -2

e) x³ = 2

 

70. (G1) Resolva o sistema a seguir pelo método da substituição:

 

ý2x + y =  7

þ

ÿ5x - 2y = -5

 

71. (G1) Resolva o sistema a seguir pelo método da comparação:

 

ý3x - 2y = - 17

þ

ÿ2x + 4y = 42

 

72. (G1) Determine geometricamente a interseção das retas dadas por:

x + y = 4  e  2x + 3y = 11

A qual quadrante pertence esse ponto?

 

73. (G1) Sem resolver o sistema, classifique-o em possível determinado, possível indeterminado ou impossível.

 

ý2x + y = 3

þ

ÿx + 2y = 3

 

74. (G1) Qual o valor de m, para que o sistema seja indeterminado?

 

ýx + 2y = 3

þ

ÿ2x + 4y = m

 

75. (G1) Pelo método da adição, resolva o sistema de equações dado por:

 

ý2x - 2y = 2

þ

ÿ3x + 4y = 52,

 

com U = Q x Q.

 

76. (G1) Dê o conjunto verdade de

 

ý3x + 3y = 17

þ

ÿx + 3y = 9,

 

com U = Q x Q. Use o método da substituição.

 

77. (G1) Resolva o sistema:

 

ý  2x  - y   = 1

þ

ÿ1/x + 1/y = 2

 

78. (G1) Dê o conjunto verdade de

 

ý3x + 3y = 3

þ

ÿx + 3y = 7,

 

pelo método da substituição.

 

79. (Mackenzie 96) Para que o sistema a seguir, nas incógnitas x, y e z, seja impossível ou indeterminado, deveremos ter para o real k, valores cuja soma é:

 

ýkx + y + z = 1

þx + ky + z = k

ÿx + y + kz = k£

 

a) -1

b) 1

c) 0

d) -2

e) 2

 

80. (Mackenzie 96) O sistema a seguir, tem por solução um par ordenado, (x,y) cuja representação gráfica é um ponto do:

a) primeiro quadrante.

b) segundo quadrante.

c) terceiro quadrante.

d) quarto quadrante.

e) eixo das abscissas.

 

 

 

81. (Mackenzie 96) Seja a função de IR em IR definida por f(x)=

 

ý(x/|x|) + sen x, se x · 0

þ

ÿ0, se x = 0

 

Então, no intervalo [0,™], o número de soluções reais da equação 3f(x)-4=0 é:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

 

82. (G1) Dê o conjunto verdade de

 

ý3x + 3y = 9

þ

ÿx + 3y = 7,

 

Use o método da substituição.

 

83. (G1) (F.C.Chagas)

Se o par (a,b) é solução do sistema a seguir,

 

ý 2a + 4b -11 = 0

þ

ÿ b/2 - 3a/2 - 9/4 = 0

 

então o valor de b/a é:

a) 3

b) 2

c) -1/6

d) -1/2

e) -6

 

84. (G1) (F.G.V.)

Resolvendo o sistema de equações:

 

ý1/x + 1/y = 1/12

þ1/y + 1/z = 1/20

ÿ1/x + 1/z = 1/15

 

e sendo s=x+y+z onde x,y e z são os valores que satisfazem o sistema anterior, teremos então:

 

a) s=110

b) s=90

c) s=5

d) s=1/5

e) s=10

 

85. (G1) (Universidade Federal - Pará)

Se:

 

ý(x-y)/6 + (x+y)/8 - 5 = 0

þ

ÿ (x + y)/4 - (x - y)/3 - 10 = 0

 

Então 2x - y é:

a) 0

b) 20

c) -20

d) 120

e) -120

 

86. (G1) (FUVEST)

Determine a e b de modo que sejam equivalentes os sistemas.

 

ý x - y = 0

þ

ÿ x + y = 2

 

         e

 

ý ax + by = 1

þ

ÿ bx - ay = 1

 

87. (G1) (PUC)

Se x = 3b, y = 4t e x£ + y£ = 100, então o produto de x . y

a) 48

b) 12

c) 25

d) -12

e) -48

 

88. (G1) (Faculdade Oswaldo Cruz)

A diferença entre dois números inteiros é 2. Determine esses números sabendo que seu produto é 35.

 

89. (G1) (FUVEST 88)

a) Resolva a equação x£ - 3x - 4 = 0

b) Resolva o sistema:

 

ý2x + y = 4

þ

ÿ2x + xy = -8

 

90. (G1) (FUVEST 92)

a) Resolva o sistema

 

ý2x - y = -3

þ

ÿ-x + y = 2

 

Onde x e y são números reais

 

 

b) Usando a resposta do item a, resolva o sistema:

 

ý2(a£ - 1)x - (b - 1)£y = -3

þ

ÿ-(a£ - 1)x + (b - 1)£y = 2

 

91. (G1) (PUC)

Sabendo-se que a+ b=1200; b+c=1.100; a+c=1500, então a+b+c vale:

a) 3800

b) 3300

c) 2700

d) 2300

e) 1900

 

92. (G1) (Universidade São Francisco 95)

A solução do sistema a seguir nas variáveis x e y, é o par ordenado (-1, 2). Nessas condições o valor a + b é:

 

ýax + by = 5

þ

ÿx + y = a

 

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

 

93. (Fei 96) Um comerciante adquiriu 80 rolos de arame, alguns com 30m e outros com 20m, num total de 2080m de comprimento. Quantos rolos de 30m foram adquiridos?

a) 40

b) 52

c) 28

d) 32

e) 48

 

94. (Unicamp 97) Considere o sistema:

 

ýx + (y + z)/2 = p

þy + (x + z)/2 = p

ÿz + (x + y)/2 = p

 

a) Mostre que se tal sistema tem solução (x, y, z) com x, y e z inteiros, então o parâmetro p é múltiplo inteiro de 17.

b) Reciprocamente, mostre que se o parâmetro p for múltiplo inteiro de 17, então este sistema tem solução (x,y,z) com x, y e z inteiros.

 

95. (Fei 97) Se f(x) = (Ax+B) cos2x, f(0) = 1 e f(™/2) = 1 então os valores de A e B são:

a) A = -1/™, B = 1

b) A = -™/2, B = 0

c) A = -™, B = -1

d) A = -1/™, B = 0

e) A = -4/™, B = 1

 

96. (Fei 97) Duas das raízes da equação polinomial x¤ + ax£ + b = 0 são 1 e 2. Quais são os valores de a e b?

a) a = 1, b = -2

b) a = 1/3, b = -2/3

c) a = 7/3, b = 4/3

d) a = -7/3, b = 4/3

e) a = -1/3, b = 2/3

 

97. (Cesgranrio 90) O sistema

 

ý3x + y = 2

þ

ÿ11x+4y=3

 

tem a solução:

a) x = 5, y = 3.

b) x = -5, y = 13.

c) x = 5, y = -13.

d) x =-5, y = -13.

e) x = 2, y = -13.

 

98. (Cesgranrio 90) Se a diferença entre dois números positivos é 7 e o seu produto é 144, então a soma desses números vale:

a) 57.

b) 45.

c) 35.

d) 30.

e) 25.

 

99. (Mackenzie 97) (x - y)/z = (x + z)/y = (z - y)/x = k

Supondo k real não nulo, então o sistema anterior tem solução única:

a) sempre

b) somente se k ´ -1.

c) somente se k µ -1.

d) somente se k · -1.

e) somente se k = -1 ou k = 1.

 

100. (Mackenzie 97) A soma dos possíveis valores do real k para que a expressão representada na figura adiante,

 

é

a) zero

b) 10

c) -10

d) 8

e) -8

 

101. (Fuvest 97) Seja o sistema

 

ýx + 2y - z = 0

þx - my - 3z = 0

ÿx + 3y + mz = m

 

a) Determine todos os valores de m para os quais o sistema admite solução.

b) Resolva o sistema, supondo m = 0.

 

102. (Cesgranrio 91) Se o sistema

 

ýy = mx + 3

þ

ÿy = (2m - 1) x + 4

 

tem apenas uma solução (x, y), então o parâmetro m satisfaz a condição:

a) m · 1.

b) m · -1.

c) m · 0.

d) m · 1/2.

e) m · 2.

 

103. (Puccamp 97) Numa lanchonete, 2 copos de refrigerante e 3 coxinhas custam R$ 5,70. O preço de 3 copos de refrigerante e 5 coxinhas é R$ 9,30 Nessas condições, é verdade que cada copo de refrigerante custa

a) R$ 0,70 a menos que cada coxinha.

b) R$ 0,80 a menos que cada coxinha.

c) R$ 0,90 a menos que cada coxinha.

d) R$ 0,80 a mais que cada coxinha.

e) R$ 0,90 a mais que cada coxinha.

 

104. (Fuvest 98) Sabendo que x, y e z são números reais e (2x+y-z)£+(x-y)£+(z-3)£=0 então, x + y + z é igual a

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

 

105. (Fgv 97) Dada a matriz A e X na figura adiante.

 

 

Chama-se autovalor de A qualquer valor real de — que faz com que a equação matricial AX = —X tenha soluções não nulas para X.

a) Determine os autovalores de A.

b) Para os valores encontrados no item anterior, obtenha a expressão da matriz X.

 

106. (Ita 97) Sejam a, b, c Æ |R* com a£ = b£ + c£. Se x, y e z satisfazem o sistema

 

ýc cos y + b cos z = a

þc cos x + a cos z = b

ÿb cos x + a cos y = c

 

então cos x + cos y + cos z é igual a

a) (a - b)/c

b) (a + b)/c

c) (b + c)/a

d) (c + a)/b

e) (b£ + c£)/a

 

107. (Ita 97) A sequência (a, a‚, aƒ, a„) é uma progressão geométrica de razão qÆ|R* com q·1 e a·0. Com relação ao sistema

 

ýax + a‚y = c

þ

ÿaƒx + a„y = d

 

podemos afirmar que

a) é impossível para c, d Æ [-1, 1].

b) é possível e determinado somente se c = d.

c) é indeterminado quaisquer que sejam c, d Æ |R.

d) é impossível quaisquer que sejam c, d Æ |R*.

e) é indeterminado somente se d = cq£.

 

108. (Pucmg 97) O sistema a seguir

 

ýx - y + z = b

þax + y + z = 1

ÿx - y + az = 0  admite uma infinidade de soluções.

 

Então, sobre os parâmetros a e b, é CORRETO afirmar:

a) a = 0 e b = 1

b) a = 0 e b = -1

c) a = -1 e b = 1

d) a = 1 e b = -1

e) a = 1 e b = 0

 

109. (Pucmg 97) O sistema a seguir

 

ýx + my = 3

þ

ÿ2x + 4y = 3m  é indeterminado.

 

O valor de m£/ 2m é:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

 

110. (Unirio 97) Considere a afirmativa:

 

"Todo sistema linear de n equações com n incógnitas admite apenas uma solução porque todo sistema linear homogêneo admite solução."

 

Com relação ao exposto, pode-se afirmar que a asserção:

a) é verdadeira, e a razão é falsa.

b) é falsa, e a razão é verdadeira.

c) e a razão são falsas.

d) e a razão são verdadeiras, e a razão é uma justificativa correta da asserção.

e) e a razão são verdadeiras, mas a razão não é uma justificativa correta da asserção.

 

111. (Ufrs 97) O sistema linear

 

ýx - y = 1

þ

ÿ4x + my = 2

 

é possível e determinado se e somente se

a) m = 2

b) m = 4

c) m · -4

d) m · 1

e) 4m = 1

 

112. (Cesgranrio 98) Resolvendo-se a equação matricial mostrada na figura, encontramos para x e y valores respectivamente iguais a:

 

 

a) -2 e 1

b) -1 e 2

c) 1 e -2

d) 1 e 2

e) 2 e -1

 

113. (Ita 98) Seja a, b Æ IR. Considere os sistemas lineares em x, y e z:

 

ýx + y - z = 0

þx - 3y + z = 1

ÿ- 2y + z = a

       

          e

 

ýx - y = 0

þx + 2y - z = 0

ÿ2x - by + 3z = 0

 

Se ambos admitem infinitas soluções reais, então:

a) a/b = 11

b) b/a = 22

c) ab = 1/4

d) ab = 22

e) ab = 0

 

114. (Mackenzie 97) As soluções reais x e y do sistema

 

ýx£ y = 2¥

þ

ÿx¦ y¤ = 2¢¢

 

são tais que:

a) y = x / 3

b) x . y = 16

c) verificam a igualdade logÖ y = 3

d) uma é dobro da outra.

e) ambas são números irracionais.

 

115. (Unb 97) Para o dia das mães, uma loja ofereceu a seus clientes a possibilidade de comprarem lençóis, fronhas e colchas, agrupados nos seguintes jogos:

 

I. 2 lençóis e 2 fronhas,

II. 2 lençóis e 2 colchas,

III. 1 lençol, 1 fronha e 1 colcha.

 

Considerando que o preço de cada peça é o mesmo em qualquer um dos jogos I, II e III são vendidos por R$130,00, R$256,00 e R$143,00, respectivamente, calcule, em reais, o preço unitário da colcha, desprezando os centavos, caso existam.

 

116. (Unb 97) Um casal de operários especializados trabalha no mesmo setor de uma fábrica. Em dezembro, a operária recebeu por dia de trabalho 3/4 do que recebeu o operário, sendo que ela trabalhou 16 dias e ele 20 dias. No total, o casal recebeu a quantia de R$ 1.408,00.

Analise essa situação e julgue  os itens adiante.

 

(0) A mulher recebeu menos de R$ 32,00 por dia de trabalho.

(1) O homem recebeu mais de 70% do total pago aos dois juntos, por dia de trabalho.

(2) O casal teria recebido mais de R$ 1.600,00, se cada um tivesse trabalhado, no mínimo, 22 dias.

 

117. (Uel 97) Num bar paga-se R$5,80 por 5 pastéis e 3 copos de refrigerante. No mesmo local, 3 pastéis e 2 copos de refrigerante custam R$3,60. Nesse caso, cada copo de refrigerante custa

a) R$ 0,70.

b) R$ 0,50.

c) R$ 0,30 a menos do que o preço de cada pastel.

d) R$ 0,20 a mais do que o preço de cada pastel.

e) R$ 0,20 a menos do que o preço de cada pastel.

 

118. (Cesgranrio 97) Para que os valores de k existe uma única matriz A mostrada na figura, tal que

 

 

a) k · -1

b) k = -2

c) k = -2 ou k = 1

d) k · -2 e k · -1

e) k · 2 e k · -1

 

119. (Unirio 96) O valor de "a" tal que no sistema

 

ý2x + 3y - z = 3

þ  x - y + az = 1

ÿx + y + z = 5     se tenha z = 3 é:

 

a) -2

b) -1

c) 0

d) 1

e) 2

 

120. (Fuvest 99) Considere o sistema linear nas incógnitas x, y, z, w:

 

2x + my = -2

x + y = -1

y + (m - l) z + 2w = 2

z - w = 1

 

a) Para que valores de m, o sistema tem uma única solução?

b) Para que valores de m, o sistema não tem solução?

c) Para m = 2, calcule o valor de 2x + y - z - 2w.

 

121. (Unesp 99) Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 200 pessoas, entre sócios e não sócios. No total, o valor arrecadado foi R$ 1 400,00 e todas as pessoas pagaram ingresso. Sabendo-se que o preço do ingresso foi R$ 10,00 e que cada sócio pagou metade desse valor, o número de sócios presentes ao show é

a) 80.

b) 100.

c) 120.

d) 140.

e) 160.

 

122. (Ufpr 99) O sistema formado pelas equações  x+5y+10z=500,  x+y+z=92  e  x-z=0  é a representação algébrica do seguinte problema: totalizar R$500,00 com cédulas de um, cinco e dez reais, num total de 92 cédulas, de modo que as quantidades de cédulas de um e de dez reais sejam iguais. Assim, é correto afirmar:

(01) No sistema, a incógnita x representa a quantidade de cédulas de dez reais.

(02) O sistema formado pelas três equações é possível e determinado.

(04) A equação x - z = 0 representa a condição de serem iguais as quantidades de cédulas de um e de dez reais.

(08) Se fosse imposta a condição de serem iguais as quantidades de cédulas de um, cinco e dez reais, então seria impossível totalizar R$ 500,00.

(16) Se fosse retirada a condição de serem iguais as quantidades de cédulas de um e de dez reais, então haveria infinitas maneiras de totalizar R$500,00 com cédulas de um, cinco e dez reais, num total de 92 cédulas.

 

Soma (       )

 

123. (Fatec 98) Se a terna de números reais (a, b, c) é uma solução de sistema de equações

 

ý3x + 6y - 9z = 0

þx - y + 4z = 0

ÿ6y - 14z = 0

 

então é verdade que

a) a = 2c/3

b) a = c

c) a = - 5c/3

d) a = - 5c

e) a = 4c

 

124. (Fatec 98) Se o sistema de equações lineares

 

ý3x + 7my + 6z = 0

þ3my + 4z = 0

ÿ(m - 1) x +2y - mz = 0

 

nas variáveis x, y e z admite solução diferente da trivial, então

a) m = -4 ou m = -6

b) m = -4 ou m = 6

c) m = 4 ou m = 6

d) m = 2 ou m = -12

e) m = -2 ou m = 12

 

125. (Ufmg 98) A média das notas na prova de Matemática de uma turma com 30 alunos foi de 70 pontos. Nenhum dos alunos obteve nota inferior a 60 pontos.

O número máximo de alunos que podem ter obtido nota igual a 90 pontos é

a) 16

b) 13

c) 23

d) 10

 

 

126. (Mackenzie 98) A equação (x+ky-3)£+(4y-x+2p)£=0, nas incógnitas x e y, com k e p números reais, admite inúmeras soluções. Então, k.p vale:

a) -6

b) -8

c) -10

d) -12

e) -14

 

127. (Unb 98) Na França, três turistas trocaram por francos franceses (F), no mesmo dia, as quantias que lhes restavam em dólares, libras e marcos, da seguinte forma:

 

1.° turista: 50 dólares, 20 libras e 10 marcos por 502,90 F;

2.° turista: 40 dólares, 30 libras e 10 marcos por 533,40 F;

3.° turista: 30 dólares, 20 libras e 30 marcos por 450,70 F.

 

Calcule o valor de 1 libra, em francos franceses, no dia em que os turistas efetuaram a transação, desprezando a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

 

128. (Uel 98) Um grupo de jovens participava de uma festa. Às 23h retiraram-se 12 garotas do grupo e o número de rapazes ficou sendo o dobro do de garotas. Em seguida, retiraram-se 15 rapazes e o número de garotas ficou sendo o dobro do de rapazes. Inicialmente, o número de jovens do grupo era

a) 50

b) 48

c) 45

d) 44

e) 42

 

129. (Ufrs 98) As soluções do sistema de equações

 

ý4x - 3y + z = 0

þ2x - 3z = 0

ÿ-8x + 6y - 2z = 0

 

estão representadas pela terna

a) (x, 14x/9, 2x/3)

b) (x, 14x, -2x/3)

c) (x, -14x/9, 2x/3)

d) (x, 14x, 2x/3)

e) (x, 14x/9, -2x/3)

 

130. (Ufrs 98) Três discos estão soldados como na figura a seguir. Considerando que as medidas de A, B e C, em centímetros, são, respectivamente, 12, 16 e 18, os diâmetros dos discos P, Q e R, nesta ordem, medem em centímetros

a) 5, 7 e 11

b) 12, 6 e 4

c) 11, 7 e 5

d) 4, 6 e 12

e) 9, 8 e 6

 

 

 

131. (Uerj 98) No sistema a seguir, x e y são números reais:

 

ý2x (x - 1) + y(x - 1) = 4(x - 1)

þ

ÿ x£ + y = 7

 

A soma de todos os valores de x que satisfazem a esse sistema é igual a:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

 

 

132. (Uerj 97) Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas, por 4 pessoas; outras, por apenas 2 pessoas, num total de 38 fregueses.

O número de mesas ocupadas por apenas 2 pessoas é:

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

 

 

133. (Uerj 97) Observe os quadros I e II, anunciados em uma livraria.

 

 

a) Supondo que todos os livros A foram vendidos ao preço regular e todos os livros B foram vendidos ao preço de oferta, calcule a quantia arrecadada pela livraria na venda de todos esses livros.

b) Considere agora o quadro III, que indica a quantia arrecadada na venda de certa quantidade dos livros A e B (valores em reais).

Utilizando esses dados e os apresentados no quadro II, calcule a quantidade vendida do livro A (ao preço regular, edição de luxo) e a quantidade vendida do livro B (ao preço de oferta, edição de bolso).

 

134. (Ufrs 96) Suponha que o sistema linear

 

ýax + by = c

þ

ÿdx + ey = f

 

onde x e y são variáveis e a, b, c, d, e, f são números reais fixos, admita diferentes soluções.

Considere as afirmações

 

 

Quais estão corretas?

a) Apenas I

b) Apenas I e II

c) Apenas I e III

d) Apenas II e III

e) I, II e III

 

135. (Unirio 99) Num determinado teste psicológico, existem 20 questões, com três opções de resposta (a), (b) e (c). Cada opção (a) vale +1, cada opção (b) vale 0, e cada opção (c) vale -1. Uma pessoa faz o teste, respondendo a todas as questões, com uma só resposta por questão totalizando -5 pontos. Com as mesmas marcações, esta mesma pessoa totalizaria 54 pontos se cada opção (a) valesse +1, se cada opção (b) valesse +2, e se cada opção (c) valesse +4 pontos. O número de marcações feitas por esta pessoa na opção (b) foi de:

a) 2

b) 4

c) 6

d) 7

e) 9

 

136. (Puccamp 99) Um artesão está vendendo pulseiras (a x reais a unidade) e colares (a y a unidade). Se 3 pulseiras e 2 colares custam R$17,50 e 2 pulseiras e 3 colares custam R$20,00 o preço de cada pulseira é

a) R$3,20

b) R$3,00

c) R$2,70

d) R$2,50

e) R$2,00

 

137. (Puc-rio 99) Ache os valores de a e b para que o sistema

 

ý2x + 3y = 6

þ

ÿax + 5y = b

 

tenha mais do que uma solução.

 

138. (Ita 99) A soma de todos os valores de a Æ [0, 2™[ que tornam o sistema

 

ýx + y + z = 0

þx sen a + y cos a + z(2sen a + cos a) = 0

ÿx sen£a + y cos£ a +z(1 + 3sen£a + 2sen 2a) = 0

 

possível e indeterminado é:

a) 5 ™

b) 4 ™

c) 3 ™

d) 2 ™

e) ™

 

139. (Pucsp 99) Considere o seguinte problema: "Vito ganhou R$3,20 de seu pai em moedas de 5 centavos, 10 centavos e 25 centavos. Se recebeu um total de 50 moedas, quantas moedas de 5 centavos ele recebeu?"

O problema proposto.

a) não admite solução.

b) admite uma única solução.

c) admite apenas duas soluções.

d) admite apenas três soluções.

e) admite mais do que três soluções.

 

140. (Uel 99) Ali, Bia e Caco têm juntos R$68,00. Se Caco desse 20% do que tem para Bia, ela ficaria com a mesma quantia que Ali, mas, se ao invés disso, Ali desse 20% do que tem para Caco, este ficaria com o triplo da quantia de Bia. Nessas condições, é correto afirmar que Ali tem

a) R$ 15,00 a menos que Caco.

b) R$ 15,00 a mais que Bia.

c) R$ 8,00 a menos que Caco.

d) R$ 8,00 a mais que Bia.

e) R$ 6,00 a menos que Caco.

 

141. (Ufes 99) O sistema linear

 

ý- 2x - 7y + 5z = a

þ  2x -   y  +   z = b

ÿ  4x + 2y -    z = c,

 

onde a, b e c são constantes reais, é

a) possível e determinado se a = 3b - 2c.

b) possível e indeterminado se a = 3b - 2c.

c) possível e determinado quaisquer que sejam a, b e c.

d) possível e indeterminado quaisquer que sejam a, b e c.

e) impossível se a = 3b - 2c.

 

142. (Uece 99) A soma de todos os valores de k para os quais o sistema

 

ýx - y - z = 0

þx - 2y - kz = 0

ÿ2x + ky + z = 0

 

admita uma infinidade de soluções é igual a:

a) -2

b) -1

c) 0

d) 1

 

 

143. (Ufsm 99) Dadas as matrizes M e N mostradas na figura adiante

 

 

onde m é o termo independente do desenvolvimento do binômio [(1/x)+x£]§, então o determinante da matriz Q=M.N é igual a

a) 15

b) 126

c) 374

d) -126

e) -156

 

144. (Ufu 99) Uma pilha possui nove sacos de arroz, todos de mesmo peso, e esta pesa tanto quanto uma pilha de doze sacos de feijão, todos de mesmo peso. Se trocarmos de posição um saco de arroz por um saco de feijão, haverá uma diferença de 30kg entre o peso total das duas pilhas resultantes. Determine o peso de cada saco de arroz e de feijão dessas pilhas.

 

145. (Unesp 2000) Dado o sistema de equações lineares S:

 

ý   x + 2y + cz =   1

þ           y +   z =   2

ÿ 3x + 2y + 2z = -1,

 

onde c Æ IR determine:

 

a) a matriz A dos coeficientes de S e o determinante de A;

 

b) o coeficiente c, para que o sistema admita uma única solução.

 

146. (Unesp 2000) Um orfanato recebeu uma certa quantidade x de brinquedos para ser distribuída entre as crianças. Se cada criança receber três brinquedos, sobrarão 70 brinquedos para serem distribuídos; mas, para que cada criança possa receber cinco brinquedos, serão necessários mais 40 brinquedos. O número de crianças do orfanato e a quantidade x de brinquedos que o orfanato recebeu são, respectivamente,

a) 50 e 290.

b) 55 e 235.

c) 55 e 220.

d) 60 e 250.

e) 65 e 265.

 

147. (Puccamp 2000) Considere o seguinte problema: Determinar dois números inteiros tais que a diferença entre seus dobros seja igual a 4 e a soma de seus triplos seja igual a 9. Esse problema pode ser resolvido por meio do sistema de equações.

 

ý2x - 2y = 4

ÿ3x + 3y  = 9

 

e a conclusão correta a que se chega é que esse problema

a) não admite soluções.

b) admite infinitas soluções.

c) admite uma única solução, com valores de x e y menores que 5.

d) admite uma única solução, com valores de x e y compreendidos entre 5 e 10.

e) admite uma única solução, com valores de x e y maiores que 10.

 

148. (Ufsm 2000) Dado o sistema

 

x + y + z + t = 2                         

x + y + z = 0

x + y + t = 1

x + z + t = 2

 

os valores de x, y, z e t, nessa ordem, que satisfazem o sistema,

a) formam uma P.G. crescente.

b) formam uma P.G. decrescente.

c) formam uma P.A. decrescente.

d) formam uma P.A. crescente.

e) são todos iguais.

 

149. (Ufg 2000) Seja k um número real. Considerando-se o sistema linear nas variáveis x e y, dado por

 

ý4kx + (k - 1)y = 1

þ

ÿk¤x + (k -1)y = 2,

 

(     ) uma solução para o sistema é x = 0 e y = 3.

(     ) se k = -2, o sistema não tem solução.

(     ) se k=2, o sistema tem infinitas soluções.

(     ) existem infinitos valores de k, para os quais o sistema possui solução única.

 

150. (Ufsc 2000) Considere o sistema S:

 

ýx + 3y = 0

þ

ÿ-2x - 6y = 0

 

e determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

 

01. O par ordenado (-15, 5) é uma solução do sistema S.

02. O sistema S‚:

 

ý2x + 6y = 0

þ

ÿ-10x - 30y = 0                 

 

é equivalente ao sistema S.           

04. A solução do sistema S é uma reta que não passa pela origem.

08. O sistema S é possível e determinado.

 

151. (Uff 2000) As ligações entre as cidades A, B e C figuram num mapa rodoviário conforme ilustrado abaixo:

 

 

Seguindo esse mapa, uma pessoa que se deslocar de A para C, passando por B, percorrerá 450km. Caso a pessoa se desloque de A para B, passando por C, o percurso será de 600km. Para se deslocar de B para C, passando por A, a pessoa vai percorrer 800km.

Determine quantos quilômetros esta pessoa percorrerá ao se deslocar de A para B, sem passar por C.

 

152. (Uff 2000) Um biscoito é composto por açúcar, farinha de trigo e manteiga, sendo a quantidade de farinha o dobro da quantidade de açúcar. Os preços por quilograma do açúcar, da farinha e da manteiga são, respectivamente, R$0,50, R$0,80, R$5,00. O custo por quilograma de massa do biscoito, considerando apenas esses ingredientes, é R$2,42.

Calcule a quantidade, em gramas, de cada ingrediente presente em 1kg de massa do biscoito.

 

153. (Fgv 2001) a) Um investidor possui R$24.000,00 e pretende aplicar totalmente esse valor, por 1 ano, em três fundos: A, B e C. As rentabilidades anuais esperadas de A, B e C são respectivamente de 12%, 15% e 20%. Se seu ganho total esperado for de R$3.590,00 e se seu ganho esperado em A for igual à soma dos ganhos esperados nos outros dois fundos, escreva o sistema linear de equações correspondente aos dados, considerando x o valor aplicado em A, y o valor aplicado em B e z o valor aplicado em C.

 

b) Para que valores de k o sistema abaixo (nas incógnitas x, y e z) é indeterminado?

 

ýx + 2y - z = 0

þ3x + ky = 0

ÿ2x + y - z = 0

 

154. (Unesp 2001) Dois produtos químicos P e Q são usados em um laboratório. Cada 1g (grama) do produto P custa R$ 0,03 e cada 1g do produto Q custa R$ 0,05. Se 100g de uma mistura dos dois produtos custam R$ 3,60, a quantidade do produto P contida nesta mistura é

a) 70 g.

b) 65 g.

c) 60 g.

d) 50 g.

e) 30 g.

 

155. (Pucmg 2001) Em uma festa de aniversário, foram distribuídos 150 bombons. Cada criança que compareceu ganhou 4 bombons e cada um dos 18 adultos recebeu 1 bombom. O número de crianças presentes ao aniversário foi:

a) 32

b) 33

c) 34

d) 35

 

 

156. (Ufscar 2001) Para as apresentações de uma peça teatral (no sábado e no domingo, à noite) foram vendidos 500 ingressos e a arrecadação total foi de R$4.560,00. O preço do ingresso no sábado era de R$10,00 e, no domingo, era de R$8,00. O número de ingressos vendidos para a apresentação do sábado e para a do domingo, nesta ordem, foi:

a) 300 e 200.

b) 290 e 210.

c) 280 e 220.

d) 270 e 230.

e) 260 e 240.

 

157. (Uff 2001) Considere o seguinte enunciado:

"A idade de Daniel é o dobro da idade de Hamilton. Há 10 anos, a idade de Daniel era o quádruplo da idade de Hamilton."

As idades de Daniel e de Hamilton são determinadas resolvendo-se o sistema:

a) x = 2y    4x = y

b) y = x/2    4x + y = 30

c) y = 2x    y - 4x = 10

d) y = 2x    4x - y = 30

e) x + y = 10    4x - y = 30

 

158. (Uff 2001) Um projeto estabelece que, em uma parede retangular com 3,5m de altura, sejam colocadas, do chão ao teto, placas quadradas, com 50cm de lado. Essas placas formarão fileiras superpostas do seguinte modo:

 

- a primeira fileira ocupará toda a base da parede com as placas colocadas com um dos lados junto ao chão;

- na segunda fileira haverá a metade do número de placas da primeira, na terceira fileira haverá a metade do número de placas da segunda e, assim, sucessivamente;

- na última fileira haverá apenas uma placa com um dos lados encostado no teto;

- as placas serão colocadas lado a lado em todas as fileiras em que houver mais de uma placa.

 

O total de placas que serão utilizadas na execução desse projeto é:

a) 2

b) 9

c) 15

d) 63

e) 127

 

159. (Fuvest 2001) A diferença entre dois números inteiros positivos é 10. Ao multiplicar um pelo outro, um estudante cometeu um engano, tendo diminuído em 4 o algarismo das dezenas do produto. Para conferir seus cálculos, dividiu o resultado obtido pelo menor dos fatores, obtendo 39 como quociente e 22 como resto. Determine os dois números.

 

160. (Fuvest 2001) Dado um número real a, considere o seguinte problema:

 

"Achar números reais x, x‚, ..., x† NÃO TODOS NULOS, que satisfaçam o sistema linear.

 

(y-2)(y-3)xÙ÷+((y-1)(y-3)(y-4)(y-6)a+(-1)Ò)xÙ+(y-3)xÙø=0, para y=1, 2, ..., 6, onde x³=x‡=0".

 

a) Escreva o sistema linear acima em forma matricial.

 

 

b) Para que valores de a o problema acima tem solução?

 

c) Existe, para algum valor de a, uma solução do problema com x=1? Se existir, determine tal solução.

 

161. (Unicamp 2001) Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$5,00, o quilo da castanha de caju, R$20,00 e o quilo de castanha-do-pará, R$16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas.

 

a) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima.

 

b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata.

 

162. (Unesp 2002) Em uma sala, havia certo número de jovens. Quando Paulo chegou, o número de rapazes presentes na sala ficou o triplo do número de garotas. Se, em vez de Paulo, tivesse entrado na sala Alice, o número de garotas ficaria a metade do número de rapazes. O número de jovens que estavam inicialmente na sala (antes de Paulo chegar) era

a) 11.

b) 9.

c) 8.

d) 6.

e) 5.

 

163. (Ufpr 2002) Uma loja de artigos de perfumaria está fazendo uma campanha de vendas, na qual se oferecem estojos com diferentes composições de produtos. Os estojos contêm as quantidades dos produtos listados na tabela a seguir.

 

 

Então, é correto afirmar:

 

(01) Ao comprar 2 estojos nŽ 1 e 5 estojos nŽ 2, o consumidor adquire 25 sabonetes, 4 xampus e 17 perfumes.

(02) É impossível comprar estojos em quantidades que permitam ao consumidor adquirir exatamente 48 sabonetes, 20 xampus e 8 perfumes.

(04) É possível comprar estojos em quantidades que permitam ao consumidor adquirir exatamente 30 sabonetes, 18 xampus e 15 perfumes.

(08) Existem 3 maneiras de escolher as quantidades de estojos de modo que o consumidor adquira exatamente 40 sabonetes, 15 xampus e 10 perfumes.

 

Soma (       )

 

164. (Ufsc 2002) Marque a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

 

01. Dada uma matriz A, de ordem m×n, e uma matriz B de ordem n×p, a matriz produto A B  existe e é de ordem mxp.

 

02. A terna (2, 1, 0) é uma solução do sistema

x + 2y + 3z = 4

2x - y - 2z = 3

3x + y + z = 7

6x + 2y + 2z = 14

 

04. Se um sistema de equações possui mais equações do que incógnitas, então ele é incompatível (impossível).

 

08. Três pessoas foram a uma lanchonete.

A primeira tomou 2 (dois) guaranás e comeu 1 (um) pastel e pagou R$ 4,00.

A segunda tomou 1 (um) guaraná e comeu 2 (dois) pastéis e pagou R$ 5,00.

A terceira tomou 2 (dois) guaranás e comeu 2 (dois) pastéis e pagou R$ 7,00.

Então, pelo menos, uma das pessoas não pagou o preço correto.

 

165. (Unifesp 2002) A solução do sistema de equações lineares

 

ýx - 2y - 2z = -1

þx         - 2z = 3

ÿ       y  -   z = 1

 

é:

a) x = -5, y = -2 e z = -1.

b) x = -5, y = -2 e z = 1.

c) x = -5, y = 2 e z = 1.

d) x = 5, y = 2 e z = -1.

e) x = 5, y = 2 e z = 1.

 

166. (Fatec 2002) Em uma festa junina, uma barraca de tiro ao alvo oferece R$15,00 ao participante cada vez que acertar o alvo. Entretanto, se errar, o participante paga R$10,00. Um indivíduo deu 30 tiros e recebeu R$175,00.

Nessas condições, o número de vezes que ele errou o alvo foi:

a) 11

b) 13

c) 17

d) 19

e) 21

 

167. (Pucsp 2002) Alfeu, Bento e Cíntia foram a uma certa loja e cada qual comprou camisas escolhidas entre três tipos, gastando nessa compra os totais de R$134,00, R$115,00 e R$48,00, respectivamente.

Sejam as matrizes a seguir, tais que:

 

 

- os elementos de cada linha de A correspondem às quantidades dos três tipos de camisas compradas por Alfeu (1 linha), Bento (2 linha) e Cíntia (3 linha);

 

- os elementos de cada coluna de A correspondem às quantidades de um mesmo tipo de camisa;

 

- os elementos de X correspondem aos preços unitários, em reais, de cada tipo de camisa.

 

Nessas condições, o total a ser pago pela compra de uma unidade de cada tipo de camisa é

a) R$ 53,00

b) R$ 55,00

c) R$ 57,00

d) R$ 62,00

e) R$ 65,00

 

168. (Fgv 2002) O sistema linear a seguir

 

ýx + 2y - 3z = 1

þ

ÿ2x - y - z = 4

 

a) é impossível.

b) admite apenas uma solução.

c) admite apenas duas soluções.

d) admite apenas três soluções.

e) admite infinitas soluções.

 

169. (Fuvest 2002) Carlos, Luís e Sílvio tinham, juntos, 100 mil reais para investir por um ano. Carlos escolheu uma aplicação que rendia 15% ao ano. Luís, uma que rendia 20% ao ano. Sílvio aplicou metade de seu dinheiro em um fundo que rendia 20% ao ano, investindo a outra metade numa aplicação de risco, com rendimento anual pós-fixado. Depois de um ano, Carlos e Luís tinham juntos 59 mil reais; Carlos e Sílvio, 93 mil reais; Luís e Sílvio, 106 mil reais.

 

a) Quantos reais cada um tinha inicialmente?

 

b) Qual o rendimento da aplicação de risco?

 

170. (Fuvest 2002) Um senhor feudal construiu um fosso, circundado por muros, em volta de seu castelo, conforme a planta adiante, com uma ponte para atravessá-lo.

 

Em um certo dia, ele deu uma volta completa no muro externo, atravessou a ponte e deu uma volta completa no muro interno. Esse trajeto foi completado em 5.320 passos. No dia seguinte, ele deu duas voltas completas no muro externo, atravessou a ponte e deu uma volta completa no muro interno, completando esse novo trajeto em 8.120 passos. Pode-se concluir que a largura L do fosso, em passos, é.

a) 36

b) 40

c) 44

d) 48

e) 50

 

171. (Fuvest 2002) Se (x, y) é solução do sistema

 

ýx + (1/y) = 1

þ

ÿx£ + (1/y£) = 4,

 

então x/y é igual a:

a) 1

b) -1

c) 1/3

d) - 3/2

e) - 2/3

 

172. (Puc-rio 2002) Assinale a afirmativa correta.

O sistema

 

ýx + y + z = 1

þ

ÿx + y - z = 1

 

a) não tem solução.

b) tem uma solução única x = 1, y = 0, z = 0.

c) tem exatamente duas soluções.

d) tem uma infinidade de soluções.

e) tem uma solução com z = 1.

 

173. (Unicamp 2002) Considere o sistema linear a seguir, no qual a é um parâmetro real:

 

ýax + y + z = 1

þx + ay + z = 2

ÿx + y + az = - 3

 

a) Mostre que para a = 1 o sistema é impossível.

 

b) Encontre os valores do parâmetro a para os quais o sistema tem solução única.

 

174. (Ufscar 2002) Uma família é composta de x irmãos e y irmãs. Cada irmão tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada irmã tem o dobro do número de irmãs igual ao número de irmãos. O valor de x + y é

a) 5.

b) 6.

c) 7.

d) 8.

e) 9.

 

175. (Puccamp 2001) As idades de três irmãos somam 46 anos e sabe-se que a soma das idades dos dois mais jovens excede a idade do mais velho em 10 anos. Se a diferença entre as idades dos dois mais velhos é 1/6 da idade do mais novo, então quantos anos tem o filho do meio?

a) 16

b) 17

c) 18

d) 19

e) 20

 

176. (Ufsm 2001) Considere o seguinte sistema de equações lineares:

 

ýx + y + z = 1

þ2x + 2y + 2z = m

ÿ3x + 3y + 3z = 4

 

Então, pode-se afirmar que o sistema é

a) possível e indeterminado.

b) impossível para qualquer valor de m.

c) possível e determinado.

d) possível para m · 2.

e) impossível apenas quando m · 2.

 

177. (Ufv 2001) Sobre o sistema linear, nas variáveis x, y e z,

 

ý  x + 2y - z = 3

þ2x + ky - 2z = 6

ÿ3x + 6y + kz = 2

 

é CORRETO afirmar que:

a) se k£ - k - 12 = 0, o sistema não possui solução.

b) se k = - 3, o sistema é impossível.

c) se k = 4, o sistema é impossível.

d) se k = 3, o sistema possui infinitas soluções.

e) se k£ - k - 12 = 0, o sistema possui infinitas soluções.

 

178. (Ufu 2001) Um pai realizou duas festas de aniversário para seus dois filhos e, entre salgadinhos e refrigerantes, gastou R$250,00 em uma festa e R$150,00 em outra. A festa que teve menor custo foi realizada com 50% dos salgadinhos e 75% dos refrigerantes da outra. Sabendo-se que o preço unitário do salgadinho e do refrigerante foi o mesmo para ambas as festas, qual foi o total gasto com refrigerantes nas duas festas?

a) R$ 225,00

b) R$ 200,00

c) R$ 150,00

d) R$ 175,00

 

 

179. (Ufg 2001) Roberto gosta de fazer caminhada em uma pista próxima a sua casa. Ao longo da pista existem uma lanchonete, um posto médico e uma banca de revista. Fazendo o mesmo caminho diariamente, Roberto constatou que, da lanchonete à banca de revistas, passando pelo posto médico, caminhou 1.000 passos. Do posto médico à lanchonete, passando pela banca de revista, caminhou 800 passos e da banca de revista ao posto médico, passando pela lanchonete, caminhou 700 passos. Considerando que cada um dos passos de Roberto mede 80cm, qual é o comprimento da pista?

 

180. (Puc-rio 2001) O conjunto de todas as soluções do sistema

 

ýx + 2y + 3z = 0

þ

ÿ4x + 5y + 6z = 0

 

a) é vazio

b) consiste apenas no vetor nulo (0, 0, 0).

c) consiste apenas no vetor (1, -2, 1).

d) consiste em todos os múltiplos {(a, -2a, a)} de (1,-2,1).

e) consiste em todos os múltiplos {(a, a -2a)} de (1,1,-2).

 

181. (Uel 2001) Em uma cantina há fichas de R$0,50, R$1,00 e R$2,50. Amanda comprou 10 fichas e gastou R$20,00. Quantas fichas de R$1,00 Amanda comprou?

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

 

182. (Ufrrj 2001) Em uma das partidas do final do campeonato brasileiro de basquete, realizada no dia 27 de junho de 2000, obtivemos os seguintes dados estatísticos:

 

 

Na tabela acima, o número de arremessos convertidos por cada time é relativo aos totais de arremessos de 3 pontos, 2 pontos e 1 ponto (lance livre) somados.

O cestinha do jogo, Oscar, converteu na faixa de 35 a 36% dos arremessos de três pontos convertidos em todo o jogo. Sabendo-se que o total de lances livres convertidos foi de 54, o número de arremessos de 3 pontos convertidos por Oscar foi igual a

a) 3.

b) 5.

c) 6.

d) 7.

e) 8.

 

183. (Ufrrj 2001) Durante os anos oitenta, uma dieta alimentar para obesos ficou conhecida como "Dieta de Cambridge" por ter sido desenvolvida na Universidade de Cambridge pelo Dr. Alan H. Howard e sua equipe. Para equilibrar sua dieta, o Dr. Howard teve que recorrer à matemática, utilizando os sistemas lineares.

Suponha que o Dr. Howard quisesse obter um equilíbrio alimentar diário de 3g de proteínas, 4g de carboidratos e 3g de gordura.

No quadro abaixo estão dispostas as quantidades em gramas dos nutrientes mencionados acima, presentes em cada 10 gramas dos alimentos: leite desnatado, farinha de soja e soro de leite.

 

 

Obs.: as quantidades são fictícias para simplificar as contas.

 

Calcule as quantidades diárias em gramas de leite desnatado, farinha de soja e soro de leite, para que se obtenha a dieta equilibrada, segundo Dr. Howard, verificando a necessidade de cada um desses alimentos na dieta em questão.

 

184. (Ufrn 2001) Três amigos, denominados X, Y e Z, utilizam o computador todas as noites. Em relação ao tempo em horas, em que cada um usa o computador, por noite, sabe-se que:

 

- o tempo de X mais o tempo de Z excede o de Y em 2;

- o tempo de X mais o quádruplo do tempo de Z é igual a 3 mais o dobro do tempo de Y;

- o tempo de X mais 9 vezes o tempo de Z excede em 10 o tempo de Y.

 

A soma do número de horas de utilização do computador, pelos três amigos, em cada noite, é igual a:

a) 4 h

b) 7 h

c) 5 h

d) 6 h

 

 

185. (Ufrs 2000) O sistema de equações

 

ýx + y - z = 3

þx - y + z = 1

ÿx + 3y - 3z = a

 

tem solução se e só se o valor de a é

a) 6.

b) 5.

c) 4.

d) 2.

e) zero.

 

186. (Fei 99) Num depósito estão armazenados três tipos de peças. O triplo da quantidade de peças do primeiro tipo é igual ao dobro da quantidade de peças do segundo tipo. A quantidade total de peças é igual ao dobro da quantidade de peças do terceiro tipo. A diferença entre as quantidades de peças do segundo e do primeiro tipo é igual a 11. Qual a quantidade total de peças?

a) 55

b) 60

c) 66

d) 110

e) 120

 

187. (Pucpr) O valor de Y no sistema de equações

 

ýx - 5z           = 2

þ3x - y - 5z    = 3

ÿ4x - 4y - 3z  = -4

 

é:

a) 4

b) 5

c) 1

d) 2

e) 3

 

188. (Ufal 99) Qual dos sistemas lineares seguintes é equivalente ao sistema

 

ý2x + y = - 1

þ                      ?

ÿ3x + 4y = 6

 

 

a) ý2x + y = - 1þÿx + 2y = 2

b) ý2x + y = - 1þÿ-x + y = 4

c) ý-2x+ y = 1þÿx - 2y = 4

d) ý3x + 4y = 6þÿx + y = - 2

e) ý3x + 4y = 6þÿx + 2y = 4

 

189. (Ufpi 2000) Se o sistema

 

ý  x + 2y = b

þ

ÿ4x + ay = 2

 

é indeterminado (possui infinitas soluções), então o valor de a+b é:

a) 17/2

b) 5/2

c) 9/2

d) 23/2

e) 15/2

 

190. (Puc-rio 2000) Resolva o sistema

 

ýx + y - z = 0

þ

ÿx - y + z = 0

 

Descreva geometricamente o seu conjunto de soluções.

 

191. (Puc-rio 2000) A soma de minha idade com as de minhas duas filhas é 64. Eu tenho trinta anos a mais do que uma delas, e a diferença de idade entre as duas é de cinco anos. Sabendo que já fiz quarenta anos, qual a minha idade?

 

192. (Uel 2000) Na loja "Cifrão", Paulo desembolsou R$ 144,00 pela compra de algumas unidades de certo artigo. Na loja "Xenxém" cada unidade do mesmo artigo é vendida por R$ 6,00 a menos e, com os mesmos R$ 144,00, Paulo poderia ter comprado duas unidades a mais. Nessas condições, o preço unitário de cada artigo na loja "Xenxém" é

a) R$ 15,00

b) R$ 16,00

c) R$ 18,00

d) R$ 20,00

e) R$ 24,00

 

193. (Ufc 2000) Considere o sistema de equações

 

ýx + Ë(xy) + y = 1

þ

ÿy£ - 4xy = 0

 

Então a soma dos valores de x tais que (x, y) seja solução deste sistema é:

a) 8/7

b) 4/7

c) 21/31

d) 1/7

e) 3/7

 

194. (Ufes 2000) Um supermercado oferece a seus fregueses dois tipos de bacalhau: o bacalhau Saither, a R$ 9,00 o quilo, e o bacalhau da Noruega, a R$ 23,00 o quilo. Uma dona de casa que comprou 1kg de bacalhau e gastou R$ 14,60 adquiriu, do bacalhau Saither,

a) 800g

b) 750g

c) 600g

d) 400g

e) 350g

 

195. (Ufes 2000) A equação matricial

a) tem infinitas soluções.

b) tem 4 soluções.

c) tem 2 soluções.

d) tem uma única solução.

e) não tem solução.

 

 

 

196. (Ufpe 2000) Os poluentes A, B e C foram detectados numa amostra de ar de uma grande cidade. Observou-se que o total dos três poluentes na amostra correspondia a 15mm¤ por litro. Na amostra, a quantidade de A era o dobro da de B e a de C era 75% da de B. Quantos mm¤ de C continha cada litro da amostra?

 

197. (Ufpe 2000) Um hotel da orla cobra R$60,00 a diária por quarto duplo e R$52,00 a diária por quarto simples. No dia 5 de fevereiro o hotel arrecadou R$9.480,00 de diárias. O gerente afirmou que se a diária do quarto duplo tivesse sido aumentada para R$64,00 e a do quarto simples reduzida para R$49,00 o hotel teria arrecadado R$9.530,00 naquele dia. Quantos quartos simples estavam ocupados naquele dia?

 

198. (Ufpel 2000) Uma pessoa quer combinar três alimentos - A, B e C - para obter uma refeição com contribuições especificadas de proteínas e gordura. Cada porção de 100 gramas do alimento A contém 60 gramas de proteínas, 5 gramas de gordura e 35 gramas de carboidratos. 100 gramas do alimento B contêm 75 gramas de carboidratos e 25 gramas de gordura. 100 gramas do alimento C contêm 30 gramas de gordura, 50 gramas de carboidratos e 20 gramas de proteínas.

Se essa pessoa deseja consumir, numa refeição, um total de 200 gramas de proteínas, 305 gramas de carboidratos e 95 de gordura, combinando os alimentos A, B e C, deverá consumir

a) 300 gramas de A, 150 gramas de B e 150 gramas de C.

b) 200 gramas de A, 200 gramas de B e 200 gramas de C.

c) 200 gramas de A, 300 gramas de B e 100 gramas de C.

d) 100 gramas de A, 200 gramas de B e 300 gramas de C.

e) 300 gramas de A, 200 gramas de B e 100 gramas de C.

 

199. (Ufrn 2000) No alvo representado pela figura abaixo, uma certa pontuação é dada para a flecha que cai na região sombreada S e outra para a flecha que cai no círculo central R.

Diana obteve 17 pontos, lançando três flechas, das quais uma caiu em R e duas em S. Guilherme obteve 22 pontos, lançando o mesmo número de flechas, das quais uma caiu em S e duas em R.

 

 

Considerando-se o desempenho dos dois arremessadores, pode-se afirmar que o número de pontos atribuídos a cada flecha que cai na região S é:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

 

 

200. (Ufrrj 2000) Resolvendo o sistema

 

ýx£ + y£ = 13

þ

ÿxy = 6

 

pode-se concluir que o valor de (x+y)£  é

a) 9.

b) 16.

c) 25.

d) 36.

e) 49.

 

201. (Ufrrj 2000) Em uma venda promocional de laranjas em que só era permitido comprar, no máximo, 25 dúzias, três amigos juntaram-se, a fim de driblar tal critério, e fizeram as seguintes compras:

 

a) Vera e Paulo compraram juntos 15 dúzias.

b) Vera e Maria compraram juntas 25 dúzias.

c) Paulo e Maria compraram juntos 20 dúzias.

 

Sabendo-se que cada um dos amigos comprou a mesma quantidade de dúzias em cada uma de suas compras, qual dentre eles foi efetivamente beneficiado, conseguindo comprar acima do limite?

 

202. (Fgv 2001) O sistema linear nas incógnitas x e y:

 

ýx - 2y = 7

þ2x + my = 0

ÿ3x - y = 6

 

a) é determinado qualquer que seja m.

b) é indeterminado para m = 2/3.

c) é impossível para m · 2/3.

d) é determinado para m · 2/3.

e) é impossível qualquer que seja m.

 

203. (Mackenzie 2001) Com relação ao sistema

 

ýx + ky = 1

þ                                              

ÿkx + y = 1 - k

 

k Æ IR, considere as afirmações:

 

I) É indeterminado para um único valor de k.

II) Sempre admite solução, qualquer que seja k.

III) Tem solução única, para um único valor de k.

 

Das afirmações acima:

a) somente I está correta.

b) somente I e II estão corretas.

c) somente II e III estão corretas.

d) nenhuma está correta.

e) todas estão corretas.

 

204. (Pucrs 2001) Um segmento de reta RV tem pontos internos S, T e U. Sabendo que S é o ponto médio de RT, U é o ponto médio de TV, a medida de RV é 69 e a medida de RT é 19, então a medida de UV é

a) 25

b) 35

c) 45

d) 50

e) 55

 

205. (Ufes 2001) Em um livro, o autor fez a seguinte afirmação a respeito de um sistema de equações lineares:

 

"sistema possível e indeterminado, quando detM‹ = 0 e detMց = detMւ = ... = detM֊ = 0".

 

Na notação do autor, M‹ é a matriz incompleta (ou matriz dos coeficientes) do sistema e Mց, Mւ, ..., M֊ são as matrizes definidas na regra de Cramer. Discuta o sistema linear, em função do parâmetro real a, e depois opine sobre o citado trecho do livro.

 

ý ax + y - z = 1

þ x + ay - z = 1

ÿ x + y - az = - 2

 

206. (Uff 2002) Na perfumaria XEROBOM, o xampu, o condicionador e a loção de sua fabricação estão sendo apresentados aos clientes em três tipos de conjuntos:

 

 

Determine o preço de cada um desses produtos, considerando que o preço individual de cada produto é o mesmo, independente do conjunto ao qual pertence.

 

207. (Uff 2002) Ao saírem do colégio, Viviane e Pedro conversavam a respeito do "peso" que carregavam em suas mochilas. Diante das queixas de Viviane, Pedro argumentou:

- Se eu transferir o equivalente a 1kg da sua mochila para a minha, levarei o dobro do "peso" que você passará a carregar. Entretanto, se, em vez disso, eu transferir o equivalente a 1,5kg da minha mochila para a sua, passaremos a carregar o mesmo "peso".

Acreditando que esse raciocínio esteja correto, determine o "peso" que cada um, ao sair do colégio, levava em sua mochila.

 

208. (Ufjf 2002) Em uma vídeo locadora, o acervo de filmes foi dividido, quanto ao preço, em três categorias: Série Ouro (SO), Série Prata (SP) e Série Bronze (SB). Marcelo estava fazendo sua ficha de inscrição, quando viu Paulo alugar dois filmes SO, dois filmes SP e um filme SB e pagar R$13,50 pela locação dos filmes. Viu também Marcos alugar quatro filmes SO, dois filmes SP e um filme SB e pagar R$20,50 pela locação. Marcelo alugou três filmes SO, um filme SP e dois filmes SB e pagou R$16,00 pela locação dos filmes. Então, nesta locadora, o preço da locação de três filmes, um de cada categoria, é igual a:

a) R$7,50.

b) R$8,00.

c) R$8,50.

d) R$9,00.

e) R$10,00.

 

209. (Uerj 2001) Para a realização de um baile, foi veiculada a seguinte propaganda:

 

 

Após a realização do baile, constatou-se que 480 pessoas pagaram ingressos, totalizando uma arrecadação de R$3.380,00.

Calcule o número de damas e de cavalheiros que pagaram ingresso nesse baile.

 

210. (Uerj 2001) Uma indústria produz três tipos de correntes.

A tabela abaixo indica os preços praticados para uma produção total de 100m.

 

 

A quantidade z de metros produzidos da corrente do tipo III é um número inteiro.

Se 5 < P ´ 10 , calcule os possíveis valores inteiros de P.

 

211. (Ufv 2002) Na compra de lâmpadas de 60 Watts e de 100 Watts para sua residência, Pedro pagou a quantia de R$9,50. Sabendo que o preço da lâmpada de 60 Watts é R$0,65, e o da lâmpada de 100 Watts é R$1,50, é CORRETO afirmar que o número de lâmpadas compradas por Pedro foi:

a) 12

b) 11

c) 13

d) 14

e) 15

 

212. (Ufsm 2002) Uma escola dispõe de R$ 2,20 para fornecer um lanche a cada criança. É recomendado que cada lanche contenha 1350 calorias e 66 gramas de proteínas. Num certo dia, a escola serve iogurte, chocolate e pastel, distribuídos na tabela a seguir, em quantidades de calorias, proteínas e custo correspondentes a 100 gramas.

 

 

As quantidades de pastel, iogurte e chocolate que cada criança deve receber são, respectivamente, em gramas,

a) 5, 20, 10

b) 150, 100, 200

c) 30, 200, 100

d) 100, 200, 50

e) 50, 100, 200

 

213. (Unirio 2002) Ao distribuir uniformemente N camundongos destinados a um experimento científico nas M gaiolas existentes no laboratório, um biólogo verifica que, se colocasse 4 camundongos em cada gaiola, uma gaiola ficaria vazia, ao passo que, se colocasse 3 camundongos em cada gaiola, precisaria de mais uma gaiola. Quantos camundongos estão destinados ao experimento?

a) 60

b) 24

c) 12

d) 36

e) 48

 

214. (Fgv 2002) Se o sistema linear

 

ý3x - 5y = 12

þ

ÿ4x + 7y = 19

 

for resolvido pela Regra de Cramer, o valor de x será dado por uma fração cujo denominador vale:

a) 41

b) 179

c) -179

d) 9

e) -9

 

215. (Fgv 2002) Resolvendo o sistema abaixo, obtém-se para z o valor:

 

ýx + y + z = 0

þ2x - y - 2z = 1

ÿ6y + 3z = -12

 

a) - 3

b) - 2

c) 0

d) 2

e) 3

 

216. (Uerj 2003) Jorge quer distribuir entre seus filhos os ingressos ganhos para um show. S e cada um de seus filhos ganhar 4 ingressos, sobrarão 5 ingressos; se cada um ganhar 6 ingressos, ficarão faltando 5 ingressos.

Podemos concluir que Jorge ganhou o número total de ingressos correspondente a:

a) 15

b) 25

c) 29

d) 34

 

 

217. (Ufc 2003) Se um comerciante misturar 2kg de café em pó do tipo I com 3kg de café em pó do tipo II, ele obtém um tipo de café cujo preço é R$ 4,80 o quilograma. Mas, se misturar 3kg de café em pó do tipo I com 2kg de café do tipo II, a nova mistura custará R$ 5,20 o quilograma. Os preços do quilograma do café do tipo I e do quilograma do café do tipo II são respectivamente:

a) R$ 5,00 e R$ 3,00

b) R$ 6,40 e R$ 4,30

c) R$ 5,50 e R$ 4,00

d) R$ 5,30 e R$ 4,50

e) R$ 6,00 e R$ 4,00

 

218. (Fuvest 2003) Um caminhão transporta maçãs, pêras e laranjas, num total de 10.000 frutas. As frutas estão condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de fruta), sendo que cada caixa de maçãs, pêras e laranjas, tem, respectivamente 50 maçãs, 60 pêras e 100 laranjas e custam, respectivamente, 20, 40 e 10 reais. Se a carga do caminhão tem 140 caixas e custa 3300 reais, calcule quantas maçãs, pêras e laranjas estão sendo transportadas.

 

219. (Unifesp 2003) Um determinado produto é vendido em embalagens fechadas de 30 g e 50 g. Na embalagem de 30 g, o produto é comercializado a R$10,00 e na embalagem de 50 g, a R$15,00.

 

a) Gastando R$100,00, qual é a quantidade de cada tipo de embalagem para uma pessoa adquirir precisamente 310 g desse produto?

b) Qual é a quantidade máxima, em gramas, que uma pessoa pode adquirir com R$100,00?

 

220. (Unesp 2003) A agência Vivatur vendeu a um turista uma passagem que foi paga, à vista, com cédulas de 10, 50 e 100 dólares, num total de 45 cédulas. O valor da passagem foi 1 950 dólares e a quantidade de cédulas recebidas de 10 dólares foi o dobro das de 100. O valor, em dólares, recebido em notas de 100 pela agência na venda dessa passagem, foi

a) 1 800.

b) 1 500.

c) 1 400.

d) 1 000.

e) 800.

 

221. (Ufpr 2003) A respeito do sistema de equações

ýx + 3y - 4z = 0

þ3x + y = a

ÿ4x + bz = 0

onde a e b são números reais, é correto afirmar:

 

(01) Se a = 0, existe algum valor de b para o qual o sistema é impossível.

(02) Se o valor de b for tal que o determinante da matriz

 

não seja nulo, o sistema terá uma única solução, qualquer que seja o valor de a.

(04) Se a = 1 e b = 2, o sistema tem mais de uma solução.

(08) Se a = b = 0, o sistema possui somente a solução nula.

 

Soma (       )

 

222. (Ita 2003) O número de todos os valores de a Æ [0, 2™], distintos, para os quais o sistema nas incógnitas x, y e z, dado por

 

-4x + y - 6z = cos 3a

x + 2y - 5z = sen 2a

6x + 3y - 4z = -2 cos a,

 

é possível e não-homogêneo, é igual a:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

 

223. (Unirio 2003) Uma agência de turismo vendeu uma promoção de dois pacotes A e B de viagens, dispondo cada um deles das opções de 1 e 2 classes (iguais valores, por classe, para ambos os pacotes). O quadro de negócios realizados, na forma matricial, é o seguinte:

 

 

O valor do pacote da 2 classe, em R$, é igual a:

a) 200

b) 80

c) 100

d) 150

e) 250

 

224. (Fuvest 2003) O sistema

 

onde c · 0, admite uma solução (x,y) com x = 1. Então, o valor de c é:

a) -3

b) -2

c) -1

d) 1

e) 2

 

225. (Ufjf 2003) Dois garfos iguais, cinco colheres iguais e oito facas iguais pesam juntos 991 g. Um desses garfos, duas dessas colheres e três dessas facas pesam juntos 391 g. Portanto, um desses garfos, uma dessas colheres e uma dessas facas pesam juntos:

a) 117 g.

b) 155 g.

c) 182 g.

d) 202 g.

e) 209 g.

 

226. (Mackenzie 2003) As afirmações adiante referem-se ao sistema

            ýx + ky = 2

            þ

            ÿkx + 4y = 2 - k, k Æ IR.

I) Existe um único valor de k para o qual o sistema admite mais de uma solução.

II) Existe um único valor de k para o qual o sistema não admite solução.

III) Existe k irracional para o qual o sistema tem solução única.

Então:

a) somente III é verdadeira.

b) somente II é verdadeira.

c) somente I é verdadeira.

d) somente I e II são verdadeiras.

e) somente II e III são verdadeiras.

 

227. (Mackenzie 2003) O sistema

            ýax + 2y + z = 0

            þ2x + ay -z = 1 - a

            ÿx + y + az = 1

a) não admite solução para, exatamente, 2 valores de a.

b) não admite solução para, exatamente, 3 valores de a.

c) admite solução única para todos os valores positivos de a.

d) admite mais de uma solução para, exatamente, 2 valores de a.

e) admite mais de uma solução para, exatamente, 3 valores de a.

 

228. (Ufsm 2003) Considere o seguinte sistema de equações lineares:

            ý2x + y + 4 ‘z = 4

            þx + (1 - ‘) y + z = 2

            ÿ2x + y + 5 ‘z = 7

Então pode-se afirmar que

a) existem exatamente dois valores reais de ‘ para os quais o sistema não tem solução.

b) existe um único valor real de ‘ para o qual o sistema admite infinitas soluções.

c) o sistema não tem solução para todo ‘ Æ IR.

d) o sistema não tem solução para ‘ = 1/2.

e) o sistema admite solução para todo ‘ · 1/2.

 

229. (Uel 2003) O sistema linear

            ý5x + y - z = 0

            þ- x - y + z = 1

            ÿ3x - y + z = 2

é:

a) Homogêneo e indeterminado.

b) Impossível e indeterminado.

c) Possível e determinado.

d) Impossível e determinado.

e) Possível e indeterminado.

 

230. (Unesp 2003) Dados os sistemas lineares,

 

 

e admitindo-se que S e S‚ são equivalentes,

a) defina o que são sistemas lineares equivalentes;

b) encontre os valores de C e C‚.

 

231. (Pucsp 2004) Pretende-se dividir um salão de forma retangular em quatro salas, também retangulares, como mostra a figura abaixo.

 

 

Se A, A‚, Aƒ e A„ são as áreas das salas pretendidas e considerando que A + A‚ + Aƒ = 36 m£, A - A‚ = 12 m£ e Aƒ = 2 . A‚, a área da quarta sala, em metros quadrados, é

a) 4

b) 4,5

c) 4,8

d) 5

e) 5,5

 

232. (Ufsc 2004) Assinale a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S).

(01) Uma pequena indústria produz três tipos de produto que indicamos por x, y, z. As unidades vendidas de cada produto e o faturamento bruto da empresa em três meses consecutivos são os dados na tabela abaixo. Então, os preços dos produtos x, y e z só podem ser, respectivamente, R$ 1.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 3.000,00. (figura 1)

(02) Se um sistema de equações é indeterminado, então não se pode encontrar solução para ele.

(04) A solução da equação (figura 2) é x = 1.

(08) A matriz (figura 3) não possui inversa.

 

 

 

233. (Unicamp 2004) Dado o sistema linear homogêneo:

 

ý[cos(‘) + sen(‘)] x +               [2sen(‘)] y = 0

þ

ÿ                 [cos(‘)] x + [cos(‘) - sen(‘)] y = 0

 

a) Encontre os valores de ‘ para os quais esse sistema admite solução não-trivial, isto é, solução diferente da solução x = y = 0.

b) Para o valor de ‘ encontrado no item (a) que está no intervalo [0, ™/2], encontre uma solução não-trivial do sistema.

 

234. (Unesp 2004) Maria tem em sua bolsa R$ 15,60 em moedas de 10 centavos e de 25 centavos. Dado que o número de moedas de 25 centavos é o dobro do número de moedas de 10 centavos, o total de moedas na bolsa é:

a) 68.

b) 75.

c) 78.

d) 81.

e) 84.

 

235. (Unifesp 2004) Numa determinada livraria, a soma dos preços de aquisição de dois lápis e um estojo é R$ 10,00. O preço do estojo é R$ 5,00 mais barato que o preço de três lápis. A soma dos preços de aquisição de um estojo e de um lápis é

a) R$ 3,00.

b) R$ 4,00.

c) R$ 6,00.

d) R$ 7,00.

e) R$ 12,00.

 

236. (Cesgranrio 2004)

 

Uma bandeira de formato retangular é dividida em 4 partes também retangulares, como mostra a figura.

Se as regiões I, II e III têm perímetros iguais, respectivamente, a 12cm, 14cm e 18cm, pode-se afirmar que o perímetro da bandeira, em cm, é igual a:

a) 20

b) 24

c) 26

d) 28

e) 32

 

237. (Uerj 2004) Os alunos de uma escola, para serem aprovados no exame final, deverão obter, pelo menos, sessenta pontos em uma prova de cem questões. Nesta prova, cada questão respondida corretamente vale um ponto e quatro questões erradas, ou não-respondidas, anulam uma questão correta.

Calcule o número mínimo de questões que um mesmo aluno deverá acertar para que:

a) obtenha uma pontuação maior do que zero;

b) seja aprovado.

 

238. (Uerj 2004) Numa granja há patos, marrecos e galinhas num total de 50 aves. Os patos são vendidos a R$ 12,00 a unidade, as galinhas a R$ 5,00 e os marrecos a R$ 15,00. Considere um comerciante que tenha gastado R$ 440,00 na compra de aves desses três tipos e que tenha comprado mais patos do que marrecos.

O número de patos que esse comerciante comprou foi igual a:

a) 25

b) 20

c) 12

d) 10

 

 

239. (Uerj 2004) Um comerciante deseja totalizar a quantia de R$ 500,00 utilizando cédulas de um, cinco e dez reais, num total de 92 cédulas, de modo que as quantidades de cédulas de um e de dez reais sejam iguais.

Neste caso, a quantidade de cédulas de cinco reais de que o comerciante precisará será igual a:

a) 12

b) 28

c) 40

d) 92

 

 

240. (Uerj 2004) Numa auto-estrada verificou-se que a velocidade média do tráfego, V, entre meio-dia e seis horas da tarde, pode ser expressa pela seguinte função:

                        V(t) = at¤ + bt£ + ct + 40

Nesta função, V é medida em quilômetros por hora, t é o número de horas transcorridas após o meio-dia e a, b e c são constantes a serem determinadas. Verificou-se, ainda, que à 1 hora, às 5 horas e às 6 horas da tarde, as velocidades médias eram, respectivamente, 81 km/h, 65 km/h e 76 km/h.

O número de vezes, em um determinado dia, em que a velocidade média do tráfego atinge 92 km/h, entre meio-dia e seis horas da tarde, é exatamente igual a:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

 

 

241. (Ufes 2004) Dado o sistema de equações

            ýx£ + y£ = k£

            þ         y = kx

            ÿ         x = ky

o número de soluções (x, y, k), com k · 0, é

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

 

242. (Ufg 2004) Uma concessionária vende veículos novos com entrada de 60% do valor do veículo e o restante em 24 parcelas fixas, sem juros. Um cliente paga, de entrada, 30% do valor do veículo e financia o restante em 48 parcelas de valor igual às do plano original. Nesse caso, o valor final do veículo tem um acréscimo de R$ 1.800,00. Nos dois planos, o valor das parcelas será de

a) R$ 250,00

b) R$ 300,00

c) R$ 350,00

d) R$ 400,00

e) R$ 450,00

 

243. (Ufrn 2004) Ao estudar a condução do calor numa barra metálica fina, colocam-se suas extremidades em contato com dois reservatórios de calor para mantê-las a temperaturas constantes. Após um certo tempo, a distribuição de temperatura entra em equilíbrio e adquire a seguinte propriedade:

 

Se A, B e C são pontos da barra com B eqüidistante de A e C, então T½ = (TÛ + TÝ) / 2, sendo TÖ a temperatura da barra no ponto x.

 

Supondo que a figura abaixo representa uma barra de metal cujas extremidades estão mantidas a 10°C e 30°C e que os pontos 1, 2 e 3 dividem a barra em quatro partes iguais, atenda às solicitações que seguem.

 

 

a) Escreva as três equações que fornecem as temperaturas T, T‚ e Tƒ nos pontos 1, 2 e 3, respectivamente.

b) Resolva o sistema

            ý2x - y = 10

            þx - 2y + z = 0

            ÿy - 2z = -30

c) Qual a relação entre a solução do sistema acima e as temperaturas nos pontos 1, 2 e 3 da barra?

 

244. (Ufrrj 2004) A soma das quantias que Fernando e Beth possuem é igual à quantia que Rosa possui. O dobro do que possui Fernando menos a quantia de Beth mais a de Rosa é igual a 30 reais.

Sabendo-se que a quantia que Fernando possui, adicionada a 1/3 da quantia de Rosa, vale 20 reais, a soma das quantias de Fernando, Beth e Rosa é

a) 30.

b) 20.

c) 60.

d) 10.

e) 50.

 

245. (Ufrs 2004) Um fabricante produziu três lotes de suco de uva. Dois dos lotes contêm as vitaminas A e C nas concentrações indicadas na tabela abaixo.

 

 

O suco do terceiro lote não contém vitaminas. O fabricante deseja misturar porções convenientes desses três lotes de maneira que o suco obtido contenha as concentrações de 1 mg de vitamina A e 2 mg de vitamina C por litro.

Essa mistura conterá

a) os três lotes em quantidades iguais.

b) dois lotes em quantidades iguais e o outro numa quantidade maior.

c) dois lotes em quantidades iguais e o outro numa quantidade menor.

d) um dos lotes em quantidade igual à soma das quantidades dos outros dois.

e) um dos lotes em quantidade superior à soma das quantidades dos outros dois.

 

246. (Ufrs 2004) O sistema linear

            ý(k + 2) x + y - z = 0

            þ         x + ky + z = 0

            ÿ     -x + (k - 1) z = 4

é possível e determinado, exceto para um número finito de valores de k. A soma de todos esses valores de k é

a) -1.

b) -1/2.

c) 0.

d) 1/2.

e) 1.

 

247. (Ufsm 2004) A remoção de um volume de 540 m¤ de entulho da construção de uma obra viária foi feita com dois tipos de caminhões. O primeiro tem capacidade de carga de 6m¤, com custo de R$30,00 por viagem. O segundo tem capacidade de carga de 10m¤ com custo de R$40,00 por viagem. Sendo destinados R$2.400,00 para a remoção do entulho, as quantidades de viagens necessárias para os caminhões do primeiro e do segundo tipos removerem completamente o entulho são, respectivamente,

a) 30 e 40.

b) 30 e 50.

c) 40 e 50.

d) 40 e 40.

e) 40 e 30.

 

248. (Ufv 2004) No Parque de Diversões Dia Feliz, os ingressos custam R$ 10,00 para adultos e R$ 6,00 para crianças. No último domingo, com a venda de 400 ingressos, a arrecadação foi de R$ 3.000,00. A razão entre o número de adultos e crianças pagantes foi:

a) 3/5

b) 2/3

c) 2/5

d) 3/4

e) 4/5

 

249. (Fuvest 2005) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma limão do que no aroma coco, o número de frascos entregues, no aroma limão, foi

a) 110

b) 120

c) 130

d) 140

e) 150

 

250. (Ita 2005) Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 sanduíches, 7 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 31,50. Em outra mesa, o consumo de 4 sanduíches, 10 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 42,00. Então, o consumo de 1 sanduíche, 1 xícara de café e 1 pedaço de torta totaliza o valor de

a) R$ 17,50.

b) R$ 16,50.

c) R$ 12,50.

d) R$ 10,50.

e) R$ 9,50.

 

251. (Ita 2005) O sistema linear

 

ýbx + y = 1

þby + z = 1

ÿx + bz = 1

 

não admite solução se e somente se o número real b for igual a

a) - 1.

b) 0.

c) 1.

d) 2.

e) - 2.

 

252. (Uerj 2005) João contou os coelhos, os patos e os bois que havia em sua fazenda, obtendo um total de 340 animais. A seguir, verificou que o número de coelhos era o triplo do de patos e que o número de bois excedia em 20 unidades o total de

coelhos e patos.

a) Determine o número de patos que há na fazenda.

b) Suponha que, após contar os 340 animais, João escreva todos os números, de 1 a 340, lado a lado, conforme a representação abaixo.

            123456789101112 ... 339340.

Após escrever o número 340, calcule o total de algarismos que ele terá escrito.

 

253. (Uff 2005) Na reta final de uma corrida verificou-se, em determinado instante, que a distância entre dois corredores era de 2,25 m. Considerando Ø e h as distâncias de cada um desses corredores até a linha de chegada, verificou-se, também, que Ø/h = 1,10.

Pode-se afirmar que Ø + h é igual a:

a) 22,50 m

b) 24,25 m

c) 46,75 m

d) 47,25 m

e) 69,70 m

 

254. (Ufg 2005) Um sistema linear tem a seguinte matriz de coeficientes:

 

 

Uma condição necessária e suficiente sobre k para que o sistema tenha uma única solução é

a) k · 4

b) k · 12/11

c) k · 0

d) k · -12/11

e) k · -4

 

255. (Ufg 2005) Para uma festa de aniversário foram reservadas 50 mesas com seis cadeiras em cada uma. No decorrer da festa, observou-se que elas estavam assim ocupadas: algumas com apenas dois convidados, outras com quatro e o restante com seis. Sabendo-se que havia 200 pessoas na festa, das quais 30% ocupavam mesas com exatamente seis pessoas, então o número de convidados que ocupavam mesas com exatamente quatro pessoas era

a) 20

b) 40

c) 60

d) 100

e) 120

 

256. (Ufrrj 2005) Em um show de pagode, os ingressos foram vendidos ao preço de R$ 10,00 para homens adultos (maiores de 18 anos), R$ 5,00 para mulheres adultas (maiores de 18 anos) e R$ 3,00 para adolescentes (entre 14 e 18 anos). Arrecadaram-se R$ 4.450,00 com a venda de 650 ingressos.

Sabendo-se que somente 150 adolescentes estiveram no show, o valor arrecadado com a venda de ingressos para as mulheres adultas foi

a) R$ 800,00.

b) R$ 900,00.

c) R$ 1.000,00.

d) R$ 1.100,00.

e) R$ 1.200,00.

 

257. (Ufrrj 2005) Em uma sala de aula entram n alunos. Se sentarem 2 alunos em cada bancada, 11 ficarão de pé. Porém, se em cada bancada sentarem 3 alunos, haverá 4 bancadas vazias.

O número de alunos (n) é

a) 49.

b) 57.

c) 65.

d) 71.

e) 82.

 

258. (Puccamp 2005) Se o convidarem para saborear um belo cozido português, certamente a última coisa que experimentará entre as iguarias do prato será a batata, pois ao ser colocada na boca sempre parecerá mais quente. ... Mas será que ela está sempre mais quente, uma vez que todos os componentes do prato foram cozidos juntos e saíram ao mesmo tempo da panela? Sabemos que, ao entrarem em contato, objetos com temperaturas diferentes tendem a trocar calor até ficarem com a mesma temperatura. Parece estranho, não? Uma coisa é certa: ao comer o cozido a chance de você queimar a boca com a batata é muito maior do que com o pedaço de carne. Comprove isso no próximo cozido que tiver oportunidade de comer.

            (Aníbal Figueiredo. Física - um outro lado - calor e temperatura. São Paulo. FTD, 1997)

 

De acordo com uma receita da vovó, entre os ingredientes usados no preparo de um belo cozido português, incluem-se x gramas de batatas, y gramas de cebolas e z gramas de lingüiça portuguesa, totalizando 1 450 gramas. Sabendo-se que z e x, nesta ordem, estão entre si na razão 2/3 e que o dobro de y, acrescido de 100, é igual à soma de x e z, é correto afirmar que compõem essa receita

a) 450 g de cebolas.

b) 480 g de batatas.

c) 480 g de cebolas.

d) 500 g de lingüiça.

e) 750 g de batatas.

 

259. (Puccamp 2005) Nos circuitos de corrente contínua, constituídos por baterias, resistores e capacitores, diversamente combinados, os valores de tensão e corrente elétricas nos ramos podem ser calculados de acordo com as Regras de Kirchhoff:

- Quando se percorre uma malha fechada de um circuito, as variações de potencial têm uma soma algébrica que é igual a zero.

- Em qualquer nó do circuito, onde a corrente se divide, a soma das correntes que fluem para o nó é igual à soma das correntes que saem do nó.

            (Adaptado de Paul Tipler. Física. v. 3. Rio de Janeiro: LTC. p. 145)

 

As Leis de Kirchhoff, aplicadas a um determinado circuito com três malhas interiores, resulta no sistema de três equações lineares seguintes, cujas incógnitas, I, I‚ e Iƒ, são as intensidades das correntes no circuito.

 

ý3I + 2I‚ + 3Iƒ = 3

þ8I - 3I‚ - 2Iƒ = 23

ÿ2I - 5Iƒ = -1

 

É verdade que I + Iƒ é igual a

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

 

260. (Fgv 2005) Sabe-se que o sistema linear

 

            ýx - y = 2

            þ

            ÿ2x + ay = log½(-a)

 

nas variáveis x e y, é possível e indeterminado. Nessas condições, Bò é igual a

a) 2 (¥Ë2)

b) Ë2

c) ¥Ë2

d) (Ë2)/2

e) (¥Ë2)/2

 

261. (Fgv 2005) O sistema linear

 

            ýx + ‘y - 2z = 0

            þx + y + z = 0

            ÿx - y - z = 0

 

admite solução não-trivial, se:

a) ‘= -2

b) ‘ · -2

c) ‘ = 2

d) ‘ · 2

e) ‘ Æ IR, sendo IR o conjunto dos números reais.

 

262. (Fgv 2005) a) Mostre que existem infinitas triplas ordenadas (x,y,z) de números que satisfazem a equação matricial:

 

 

b) Resolva o sistema linear abaixo, nas incógnitas x e y , usando o conceito de matriz inversa:

            ý2x + y = a

            þ

            ÿ5x + 3y = b

 

263. (Unesp 2005) Numa determinada empresa, vigora a seguinte regra, baseada em acúmulo de pontos. No final de cada mês, o funcionário recebe: 3 pontos positivos, se em todos os dias do mês ele foi pontual no trabalho, ou 5 pontos negativos, se durante o mês ele chegou pelo menos um dia atrasado.

Os pontos recebidos vão sendo acumulados mês a mês, até que a soma atinja, pela primeira vez, 50 ou mais pontos, positivos ou negativos. Quando isso ocorre, há duas possibilidades: se o número de pontos acumulados for positivo, o funcionário recebe uma gratificação e, se for negativo, há um desconto em seu salário. Se um funcionário acumulou exatamente 50 pontos positivos em 30 meses, a quantidade de meses em que ele foi pontual, no período, foi:

a) 15.

b) 20.

c) 25.

d) 26.

e) 28.

 

264. (Ufscar 2005) No dia do pagamento, Rita e Luís compraram, cada um, x CDs e y DVDs em uma loja (x · 0 e y · 0). Cada CD comprado por Rita custou R$ 20,00, e cada DVD comprado por ela custou R$ 30,00. Cada CD comprado por Luís custou R$ 15,00, e cada DVD custou P reais (P · 0). Sabe-se que essa foi a única compra que Rita e Luís fizeram na loja, gastando R$ 150,00 e Q reais (Q · 0), respectivamente.

a) Determine o par ordenado (x,y) da solução do problema quando x · y.

b) Se o preço de cada DVD comprado por Luís corresponde a 20% do seu gasto total na loja, determine P e Q quando a solução do problema é x = y.

 

265. (Uel 2005) Um comerciante varejista comprou 80 calças de dois tamanhos diferentes, pequeno e médio, gastando R$ 4300,00. Cada calça de tamanho pequeno custou R$ 50,00 e cada calça de tamanho médio custou R$ 60,00. Quantas calças de tamanho pequeno e médio, respectivamente, ele comprou?

a) 30 e 50

b) 37 e 43

c) 40 e 40

d) 43 e 37

e) 50 e 30

 

266. (Uel 2005) Em uma rodada de um campeonato de futebol de salão, o time "Bola na rede" ganhou do time "Malukos por bola" por 8 a 0 (oito a zero). O repórter de um jornal foi ao vestiário do time vencedor e perguntou quantos gols cada jogador havia marcado, anotando os nomes dos jogadores que fizeram gols. Escreveu em suas anotações:

1) Fizeram gols: Esquerdinha, Teco, Azeitona e Dentinho.

2) Teco fez 2 gols a mais que Esquerdinha.

3) Azeitona fez tantos gols quanto a diferença entre os gols feitos por Teco e Esquerdinha.

 

Sobre a contagem de gols da partida, considere as afirmativas a seguir.

I. O jogador que marcou mais gols foi Teco.

II. Azeitona e Dentinho marcaram a mesma quantidade de gols.

III. A soma do número de gols feitos por Azeitona e Dentinho é igual ao número de gols feitos por Teco.

IV. Teco fez três vezes mais gols do que Esquerdinha.

 

Estão corretas apenas as afirmativas:

a) I e II.

b) I e III.

c) III e IV.

d) I, II e IV.

e) II, III e IV.

 

267. (Pucsp 2005) Sabe-se que na compra de uma caixa de lenços, dois bonés e três camisetas gasta-se um total de R$ 127,00. Se três caixas de lenços, quatro bonés e cinco camisetas, dos mesmos tipos que os primeiros, custam juntos R$ 241,00, a quantia a ser desembolsada na compra de apenas três unidades desses artigos, sendo um de cada tipo, será

a) R$ 72,00

b) R$ 65,00

c) R$ 60,00

d) R$ 57,00

e) R$ 49,00

 

268. (Fuvest 2006) João, Maria e Antônia tinham, juntos, R$ 100.000,00. Cada um deles investiu sua parte por um ano, com juros de 10% ao ano. Depois de creditados seus juros no final desse ano, Antônia passou a ter R$ 11.000,00 mais o dobro do novo capital de João. No ano seguinte, os três reinvestiram seus capitais, ainda com juros de 10% ao ano. Depois de creditados os juros de cada um no final desse segundo ano, o novo capital de Antônia era igual à soma dos novos capitais de Maria e João.

Qual era o capital inicial de João?

a) R$ 20.000,00

b) R$ 22.000,00

c) R$ 24.000,00

d) R$ 26.000,00

e) R$ 28.000,00

 

269. (Ufpr 2006) Certa transportadora possui depósitos nas cidades de Guarapuava, Maringá e Cascavel. Três motoristas dessa empresa, que transportam encomendas apenas entre esses três depósitos, estavam conversando e fizeram as seguintes afirmações:

 

1Ž motorista: Ontem eu saí de Cascavel, entreguei parte da carga em Maringá e o restante em Guarapuava. Ao todo, percorri 568 km.

2Ž motorista: Eu saí de Maringá, entreguei uma encomenda em Cascavel e depois fui para Guarapuava. Ao todo, percorri 522 km.

3Ž motorista: Semana passada eu saí de Maringá, descarreguei parte da carga em Guarapuava e o restante em Cascavel, percorrendo, ao todo, 550 km.

 

Sabendo que os três motoristas cumpriram rigorosamente o percurso imposto pela transportadora, quantos quilômetros percorreria um motorista que saísse de Guarapuava, passasse por Maringá, depois por Cascavel e retornasse a Guarapuava?

a) 824 km

b) 820 km

c) 832 km

d) 798 km

e) 812 km

 

270. (Ita 2006) A condição para que as constantes reais a e b tornem incompatível o sistema linear

            ýx + y + 3z = 2

            þx + 2y + 5z = 1

            ÿ2x + 2y + az = b

é

a) a - b · 2

b) a + b = 10

c) 4a - 6b= O

d) a/b = 3/2

e) a . b = 24

 

271. (Ita 2006) Seja o sistema linear nas incógnitas x e y, com a e b reais, dado por

 

            ý(a - b)x - (a + b)y = 1

            þ

            ÿ(a + b)x + (a - b)y = 1

 

Considere as seguintes afirmações:

 

I. O sistema é possível e indeterminado se a = b = 0

ll. O sistema é possível e determinado se a e b não são simultaneamente nulos

III. x£ + y£ = (a£ + b£)­¢, se a£ + b£ · 0

 

Então, pode-se afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas

a) I

b) II

c) III

d) I e II

e) ll e III

 

272. (Unesp 2006) Seja TC a temperatura em graus Celsius e TF a mesma temperatura em graus Fahrenheit. Essas duas escalas de temperatura estão relacionadas pela equação

 

                        9TC = 5TF -160.

 

Considere agora TK a mesma temperatura na escala Kelvin. As escalas Kelvin e Celsius estão relacionadas pela equação

 

                        TK = TC + 273.

 

A equação que relaciona as escalas Fahrenheit e Kelvin é:

a) TF = (TK - 113)/5

b) TF = (9TK - 2457)/5

c) TF = (9TK - 2297)/5

d) TF = (9TK - 2657)/5

e) TF = (9TK - 2617)/5

 

273. (Unesp 2006) Um laboratório farmacêutico tem dois depósitos, D e D‚. Para atender a uma encomenda, deve enviar 30 caixas iguais contendo um determinado medicamento à drogaria A e 40 caixas do mesmo tipo e do mesmo medicamento à drogaria B. Os gastos com transporte, por cada caixa de medicamento, de cada depósito para cada uma das drogarias, estão indicados na tabela.

 

 

Seja x a quantidade de caixas do medicamento, do depósito D, que deverá ser enviada à drogaria A e y a quantidade de caixas do mesmo depósito que deverá ser enviada à drogaria B.

a) Expressar:

- em função de x, o gasto GÛ com transporte para enviar os medicamentos à drogaria A;

- em função de y, o gasto G½ com transporte para enviar os medicamentos à drogaria B;

- em função de x e y, o gasto total G para atender as duas drogarias.

b) Sabe-se que no depósito D existem exatamente 40 caixas do medicamento solicitado e que o gasto total G para se atender a encomenda deverá ser de R$ 890,00, que é o gasto mínimo nas condições dadas. Com base nisso, determine, separadamente, as quantidades de caixas de medicamentos que sairão de cada depósito, D e D‚, para cada drogaria, A e B, e os gastos GÛ e G½.

 

274. (Unifesp 2006) Considere o sistema de equações

 

            ýx - y = 2

            þ

            ÿcx + y = 3

 

onde c é uma constante real. Para que a solução do sistema seja um par ordenado no interior do primeiro quadrante (x > 0, y > 0) do sistema de eixos cartesianos ortogonais com origem em (0, 0), é necessário e suficiente que

a) c · -1.

b) c < -1.

c) c < -1 ou c > 3/2.

d) 3/2 < c.

e) -1 < c < 3/2.

 

275. (Pucrj 2006) Ache todas as soluções do sistema

 

            ý  x + y - z = 1

            þ

            ÿ- x + y + z = 1

 

Interprete sua resposta geometricamente. Verifique se o sistema tem uma solução do tipo

x = a + 1, y = 2a e z = a.

 

276. (Unicamp 99) Um torneio de futebol foi disputado por quatro equipes em dois turnos, isto é, cada equipe jogou duas vezes com cada uma das outras. Pelo regulamento do torneio, para cada vitória são atribuídos 3 pontos ao vencedor e nenhum ponto ao perdedor. No caso de empate, um ponto para cada equipe. A classificação final no torneio foi a seguinte:

 

 

a) Quantas partidas foram disputadas em todo o torneio?

b) Quantos foram os empates?

c) Construa uma tabela que mostre o número de vitórias, de empates e de derrotas de cada uma das quatro equipes.

 

277. (Unicamp 2000) Em um certo jogo são usadas fichas de cores e valores diferentes. Duas fichas brancas equivalem a três fichas amarelas, uma ficha amarela equivale a cinco fichas vermelhas, três fichas vermelhas equivalem a oito fichas pretas e uma ficha preta vale quinze pontos.

 

a) Quantos pontos vale cada ficha?

 

b) Encontre todas as maneiras possíveis para totalizar 560 pontos, usando, em cada soma, no máximo cinco fichas de cada cor.

 

278. (Ufmg 94) A reta de equação y = 3x + a tem um único ponto em comum com a parábola de equação y=x£+x+2. O valor de a é

a) - 2

b) - 1

c) 0

d) 1

e) 2

 

279. (G1) Determine geometricamente o ponto de intersecção das retas suportes das equações 2x+y=10 e x+2y=11. A qual quadrante do plano cartesiano pertence esse ponto?

 

280. (Uerj 2000) A tabela abaixo indica os preços e os diâmetros de bolinhos que têm forma esférica.

 

 

a) Suponha que João comeu apenas um bolinho grande e Mariana comeu exatamente cinco pequenos.

Calcule a percentagem do volume que João comeu a mais do que Mariana.

 

b) Foram arrecadados 40 reais na venda de 25 unidades de bolinhos.

Calcule a quantidade vendida de cada tipo, sabendo que o número de bolinhos grandes foi o maior possível.


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GABARITO

 

1. R$ 1,10

 

2. R$ 18,40

 

3. p(3) = 25

 

4. a) y = - x£ + 2

 

b) Temos o seguinte sistema linear nas variáveis a, b e c:

f(x³) = ax³£ + bx³ + c = y³

f(x) = ax¢ + bx + c = y

f(x‚) = ax‚£ + bx‚ + c = y‚

 

Tomando a matriz incompleta do sistema, encontramos o determinante localizado na figura1.

 

Como  x³ < x < x‚, podemos afirmar que Ð · 0. Logo, o sistema linear acima é um sistema de Cramer e, sendo assim, a = Ða/Ð. Sabendo ainda que os pontos A, B e C não estão alinhados, obtemos o determinante da figura 2.

 

 

Portanto, a · 0 e a função quadrática y = ax£ + bx + c é única.

 

c.q.d.

 

5. [C]

 

6. a) F

b) V

c) F

d) F

 

7. João CR$ 42.000,00

Pedro CR$ 30.000,00

 

8. a) D · 0, ¯ m Æ IR

b) m = - 1/2

 

9. 3060 residências

 

10. [A]

 

11. [A]

 

12. [B]

 

13. a) 7 pessoas

b) R$ 8,00

 

14. a = 2

S = {[(7-5z)/5, (5z+4)/5, z)]} (z Æ IR)

 

15. [A]

 

16. [B]

 

17. k < -3 ou k > 3

 

18. k = 0 ou k = 2

 

19. k = -4,4

 

20. [C]

 

21. a) V = {(1, 0, 1/2)}

b) V = {(-4‘, 2‘, ‘); ‘ Æ IR}

 

22. L = {-7, 11}

L‚ = ¹

Lƒ = IR - {-7, 11}

 

23. 16/3; 13/3; 10/3; 7/3

 

24. [E]

 

25. a) V = {(-1, 1)}

b) V = {(0, 0); (0, 2)}

 

26.

 

 

O sistema dado se escreve (AB)X = 0.

Como (AB)X = A(BX), temos:

(AB)X = 0 Ì A(BX) = 0.

Seja X solução de BX = 0mx.

Temos:

(1) BX = 0mxëA(BX) = A . 0mxë(AB)X=0(2)

Toda solução de (1) é também solução de (2), isto é, o conjunto verdade de BX = 0 m x1 é subconjunto do conjunto verdade de (AB)X = 0.

 

Considere BX = 0 m x 1. Como B é m x n e m<n, o sistema dado por BX = 0 m x 1 tem número de equações menor que o número de incógnitas. Sendo homogêneo, BX = O m x 1 é possível e indeterminado. Como as soluções de BX = 0 m x 1 são soluções de (AB)X = 0, temos que (AB)X = 0 também é possível e indeterminado. Este fato acontece, para sistema lineares homogêneos com número de equações menor do que o número de incógnitas se, e somente se, det(AB) = 0.

 

27. 15 unidades de A

4 unidades de B

2 unidades de C

 

28. V = {(1,1/2)}

 

29. V = {(-1, 0, 1, 2)}

 

30. a) xŠ = -n-1, yŠ = n+3 e zŠ = -2n-2

b) n = 1 ou n = -3-2i ou n = -3+2i

 

31. [C]

 

32. x = 1

y = 2

z = 3

 

33. [A]

 

34. [C]

 

35. [B]

 

36. [C]

 

37. 81

 

38. [C]

 

39. [E]

 

40. [D]

 

41. [B]

 

42. [E]

 

43. [C]

 

44. [E]

 

45. [A]

 

46. a) (SPD) Ì a · 2 / 5

b) (SPI) Ì a = 2 / 5 e b = 0

c) (SI) Ì a = 2 / 5 e b · 0

 

47. [D]

 

48. A ë 700 quilos

B ë 200 quilos

C ë 100 quilos

 

49. [A]

 

50. 100 litros com 3% de gordura e 20 litros com 4% de gordura.

 

51. Gastou 18 dias, caminhando 35 km/dia.

 

52. p = 3

q = 15

r = 4

s = 20

V = { (1, 1) }

 

53. R$ 100000,00

 

54. p = 4

 

55. [D]

 

56. [A]

 

57. a) m · -8 ë SPD

    m = -8 e n = -3/2 ë SPI

    m = -8 e n · -3/2 ë SI

   

b) S = {( -1/11 , -18/11 )}

 

58. a = 5 , b = 3 e c = 2

 

59. [C]

 

60. [C]

 

61. [A]

 

62. [A]

 

63. [A]

 

64. 17

 

65. [E]

 

66. [E]

 

67. [B]

 

68. [C]

 

69. [C]

 

70. V = (1, 5)

 

71. V = (1, 20)

 

72.

 

O ponto (1, 3) pertence ao primeiro quadrante.

 

73. Possível Determinado

 

74. m = 6

 

75. V = (8,7)

 

76. V = (4,5/3)

 

77. se x = 1 então y = 1

se x = 1/4 então y = -1/2

 

78. x = -2

y = 3

 

79. [A]

 

80. [D]

 

81. [C]

 

82. V = {1; 2}

 

83. [E]

 

84. [A]

 

85. [B]

 

86. a = 0

b = 1

 

87. [A]

 

88. 7 e 5

 

89. a) S={4, -1}

b) S={(4, -4), (-1, 6)}

 

90. a) x = -1 e y = 1

b) a = 0 e b = Ë5 + 1   /   a = 0 e b = -Ë5 + 1

 

91. [E]

 

92. [D]

 

93. [E]

 

94. O sistema dado é possível e determinado se

x = y = z = p/2.

Logo, os valores de x, y e z são inteiros se, e somente se, p é par. Concluí-se daí que as proposições a e b da questão não são verdadeiras.

Esta questão foi anulada pela Unicamp!

 

95. [E]

 

96. [D]

 

97. [C]

 

98. [E]

 

99. [D]

 

100. [B]

 

101. a) m · -3

b) O conjunto solução S do sistema é:

    S = {(3z, -z, z), z Æ C}

 

102. [A]

 

103. [C]

 

104. [C]

 

105. Observe a resolução adiante

 

 

 

106. [C]

 

107. [E]

 

108. [E]

 

109. [B]

 

110. [B]

 

111. [C]

 

112. [D]

 

113. [B]

 

114. [D]

 

115. R$ 78,00

 

116. F F V

 

117. [E]

 

118. [E]

 

119. [D]

 

120. a) m · -1 e m · 2

b) m = -1

c) -4

 

121. [C]

 

122. 02 + 04 + 08 = 14

 

123. [C]

 

124. [E]

 

125. [D]

 

126. [A]

 

127. 8 FF

 

128. [E]

 

129. [A]

 

130. [C]

 

131. [C]

 

132. [B]

 

133. a) 1.568,00

b) A = 40 livros, B = 160 livros

 

134. [B]

 

135. [D]

 

136. [D]

 

137. a = 10/3

b = 10

 

138. [A]

 

139. [D]

 

140. [A]

 

141. [B]

 

142. [B]

 

143. [E]

 

144. Saco de arroz = 60 kg e

Saco de feijão = 45 kg

 

145. a) Observe a figura a seguir:

 

 

detA = (6 - 3c)

b) c · 2

 

146. [B]

 

147. [A]

 

148. [D]

 

149. F V F V

 

150. 01 + 02 = 03

 

151. x = 325 km

 

152. Açúcar 200g

Farinha 400g

Manteiga 400g

 

153. a) x + y + z = 24.000

    0,12x + 0,15y + 0,20z = 3.590

    0,12x - 0,15y - 0,20z = 0

 

b) k = -3

 

154. [A]

 

155. [B]

 

156. [C]

 

157. [D]

 

158. [E]

 

159. 41 e 31

 

160. a) Observe a matriz a seguir:

 

 

b) a = 1/8 ou a = -31/8.

 

c) Sim, a = 1/8, e a solução é (1, -1/2, 0, 0, 0, 0).

 

161. a) 5,00a + 20,00c + 16,00p = 5,75

    a + c + p = 0,5

    c = 1/3 (a + p)

 

b) 250 g de amendoim

    125 g de castanha de caju

    125 g de castanha-do-pará

 

162. [A]

 

163. 01 + 08 = 09

 

164. 01 + 02 + 08 = 11

 

165. [E]

 

166. [A]

 

167. [A]

 

168. [E]

 

169. a) Carlos 20 mil reais, Luís 30 mil e Sílvio 50 mil.

 

b) 60 %

 

170. [B]

 

171. [D]

 

172. [D]

 

173. a) Para a = 1:

 

x + y + z = 1  (equação 1)

x + y + z = 2  (equação 2)

x + y + z = - 3  (equação 3)

 

Multiplicando a equação 1 por "-1" temos:

- x - y - z = - 1

 

Somando com a equação 2 temos:

0 = 1

 

Para a = 1 o sistema é impossível.

 

b) a · 1 e a · -2.

 

174. [C]

 

175. [A]

 

176. [B]

 

177. [B]

 

178. [D]

 

179. 1000 metros

 

180. [D]

 

181. [C]

 

182. [B]

 

183. 7,1g de leite desnatado, 0g de farinha e 4,2g de soro de leite.

 

184. [D]

 

185. [B]

 

186. [D]

 

187. [E]

 

188. [E]

 

189. [A]

 

190. O conjunto de soluções é a reta y=z no plano x=0.

 

191. 43 anos.

 

192. [C]

 

193. [A]

 

194. [C]

 

195. [D]

 

196. 3

 

197. 90

 

198. [E]

 

199. [C]

 

200. [C]

 

201. Maria foi beneficiada, dois comprou 15 dúzias com Vera e 15 dúzias com Paulo, totalizando 30 dúzias.

 

202. [C]

 

203. [D]

 

204. [A]

 

205. a·1 e a·-2 (SPD)

a=1 (SI)

a=-2 (SPI)

 

Se a=1 temos D=Dx=Dy=Dz=0, mas para a=1 o sistema não tem solução.

 

206. Os preços do xampu, loção e condicionador são, respectivamente, R$ 4,00; R$13,00 e R$ 5,00.

 

207. Pedro carregava 9 kg e Viviane carregava 6 kg.

 

208. [A]

 

209. 250 cavalheiros

230 damas

 

210. P = 7, P = 8 e P = 10

 

211. [A]

 

212. [E]

 

213. [B]

 

214. [A]

 

215. [D]

 

216. [B]

 

217. [E]

 

218. Estão sendo transportadas 2000 maçãs, 3000 pêras e 5000 laranjas.

 

219. a) 7 embalagens de 30g e 2 de 50g

b) 330g

 

220. [D]

 

221. 02 + 08 = 10

 

222. [A]

 

223. [C]

 

224. [B]

 

225. [C]

 

226. [A]

 

227. [B]

 

228. [B]

 

229. [E]

 

230. a) Dois sistemas lineares são equivalentes se, e somente se, tiverem o mesmo conjunto solução.

b) C = 3/2 e C‚ = -1/2.

 

231. [A]

 

232. proposições corretas: 04 e 08

proposições incorretas: 01 e 02

 

233. a) ‘ = (™/8) + (k™/2), k Æ Z

b) ((Ë2) - 2; 1)

 

234. [C]

 

235. [D]

 

236. [E]

 

237. a) 21

b) 68

 

238. [B]

 

239. [A]

 

240. [A]

 

241. [E]

 

242. [B]

 

243. a)  2T -                = 10

        T - 2T‚  +  Tƒ = 0

                     - 2Tƒ = -30

b) S = { (15, 20, 25) }

c) Fazendo x = T, y = T‚ e  z = Tƒ, a solução do sistema fornece as temperaturas da barra nos pontos 1, 2 e 3.

 

244. [C]

 

245. [D]

 

246. [A]

 

247. [E]

 

248. [A]

 

249. [C]

 

250. [D]

 

251. [A]

 

252. a) 40 patos

 

b) 912 algarismos

 

253. [D]

 

254. [E]

 

255. [E]

 

256. [C]

 

257. [B]

 

258. [A]

 

259. [C]

 

260. [D]

 

261. [A]

 

262. a) A partir do enunciado obtemos o sistema linear:

            ýx  +  2y - z = 0

            þ2x   - 10z   = 0

            ÿ-x + y + 7z = 0

 

Este sistema é homogêneo e, portanto, admite a solução trivial (0,0,0).

Para que um sistema linear homogêneo tenha outras soluções além da trivial, o determinante

 

 

da matriz incompleta deve ser nulo.

Calculando este determinante, concluímos que o sistema é possível e indeterminado. Desse modo, a equação matricial dada possui infinitas soluções.

 

b) S = {( 3a - b;  -5a + 2b)}

 

263. [C]

 

264. a) (6;1)

 

b) P = R$ 22,50 e Q = R$ 112,50

 

265. [E]

 

266. [D]

 

267. [D]

 

268. [A]

 

269. [B]

 

270. [A]

 

271. [E]

 

272. [C]

 

273. a)           GÛ = (360 - 2x) reais

            G½ = (600 - y) reais

            G = (960 - 2x - y) reais

 

b)        D: 30 caixas para A e 10 caixas para B.

            D2:  nenhuma caixa para A e 30 caixas para B.

             GÛ = 300 reais e G½ = 590 reais.

 

274. [E]

 

275. S = { (t, 1, t), t Æ R }

As soluções são pontos pertencentes a uma reta.

x = a + 1, y = 2a e z = a  não pode ser uma solução, pois a + 1 · a => x · z .

 

276. a) 12

b) 4

c) Observe a figura a seguir

 

 

 

277. a) A branca vale 300, a amarela 200, a vermelha 40 e a preta 15.

 

b) (1 branca, 1 amarela e 4 pretas) ou

(1 branca, 5 vermelhas e 4 pretas) ou

(2 amarelas e 4 vermelhas)

 

278. [D]

 

279. Observe a figura a seguir.

 

 

 

280. a) 60%

 

b) 7 bolinhos grandes

1 bolinho médio

17 bolinhos pequenos